En el concepto de derivación, dada una función $F(x)$, el operador $dF(x)/dx$ se indica que se obtendrá una función $f(x)$ que es la derivada de la función $F(x)$. Siendo $F$ conocida, la función $f$ es equivalente a $${d\over dx}F(x)=F'(x)=f(x)$$

Ahora supongamos que conocemos $f(x)$, que es la derivada de alguna función $y=F(x)$ que no conocemos. Buscar esa función $F(x)$ es conocido como buscar una primitiva o antiderivada de la función $f(x)$; que es una operción inversa a la derivación. La antiderivada es buscar una función $F(x) \ \ni $
$$F'(x)=f(x)$$ Definición Si $F'(x)=f(x), \ \forall x\in (a,b)$, entonces $F(x)$ es una antiderivada de $f$ en $(a,b)$.

Para esto se emplea el símbolo $\int$ que se lee integral; de manera que $\int f(x) dx$ se leera como:

la integral de $f(x)$ con respecto de $x$.

Fíjese que si $F'(x)=f(x)$ y $C$ una constante cualquiera, entonces $$ {d\over dx}(F(x)+C)=F'(x)=f(x) $$

entonces $f(x) dx=d(F(x)+C)$, por tanto $$\int f(x) dx=F(x)+C$$

Esto es que cualesquieras dos antiderivadas de $f$ difieren en una constante.

Teorema Si $F(x)$ y $G(x)$ son antiderivadas de $f$ en $(a,b)$, entonces $F(x)=G(x)+C$

Demostración Por hipótesis $F'(x)=f(x) $ y $G'(x)=f(x) \ \ \ \ \ \forall x\in(a,b)$, entonces

$$F'(x)=G'(x)=f(x); \ \ \ \ \ \forall x\in(a,b)$$ por lo que

$${d(F-G)\over dx}(x)=0$$ entonces $$F(x)-G(x)=C, \ \ \ C\in\mathbb{R}$$

$$\therefore F(x)=G(x)+C \ \ \ \ \ _\blacksquare$$


1. Teorema fundamental del Cálculo

Teorema (Valor intermedio) Si $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R} \ni (c\in\mathbb{R})$

1.$f$ es continua en $(a,b)$

2. $f(x_1)<c<f(x_2)$, $\forall x_1,x_2\in(a,b)$.

$\Longrightarrow \exists x_0\in(a,b) $ $ \ni f(x_0)=c$

Teorema (Valor intermedio)
Si $f:I\rightarrow\mathbb{R}, I=[a,b]\subset\mathbb{R} \ \ \ni f$ es continua en $I\Longrightarrow \exists c\in(a,b)\ni$ $${1\over b-a}\int_a^b f(x) dx=f(c)$$
Demostración

Puesto que $f$ es continua en $I\Longrightarrow \exists m$ y $M>0\ni$

$$m\leqslant f(x)\leqslant M, \ \ \ \forall x\in I$$

esto es por el teorema valor extremo, entonces integrando con respecto de $x$

$$\int_a^b mdx\leqslant\int_a^b f(x) dx\leqslant\int_a^b Mdx$$

entonces $$(b-a)m\leqslant\int_a^b f(x) dx\leqslant(b-a)M$$ al ser $b-a>0$ se tiene que

$$m\leqslant{1\over b-a}\int_a^b f(x) dx\leqslant M$$

por el teorema del valor intermedio se tiene que $\exists c\in (a,b)\ni$

$${1\over b-a}\int_a^b f(x) dx=f(c) \ \ \ _\blacksquare$$

Teorema (Fundamental del cálculo) Si $f:I\rightarrow\mathbb{R}, \ I=\mathbb{R}\subset\mathbb{R}$ continua en $I$

1.Si $\displaystyle F(x)=\int_a^xf(t)dt$, entonces $$F'(x)=f(x) \ \ \ \ \forall x\in(a,b)$$ 2. Si $F'(x)=f(x), \ \ \ \forall x\in(a,b)$, entonces
$$\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$$ Demostración

En este apartado solo probaremos el primer caso: Sean $x\in(a,b)$ y $x+h\in(a,b)$ ,entonces $$F(x+h)-F(x)=\int_a^{x+h}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt=\left(\int_a^{x}f(t)dt+\int_x^{x+h}f(t)dt \right)-\int_a^{x}f(t)dt $$ $$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)$$

entonces $$F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}f(t)dt$$ si $h\neq0$, entonces

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}={1\over h}\int_x^{x+h}f(t)dt$$ entonces por el teorema de valor medio para integrales (teorema 1.2) $\exists c\in(x,x+h)\ni$

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}={1\over h}\int_x^{x+h}f(t)dt={1\over h}(hf(c))=f(c)$$entonces

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(c)$$ tomando límite cuando $h\rightarrow0$

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}f(c)$$

note que: $x<c<x+h$, entonces cuando $h\rightarrow0$, $x<c<x$ por lo que $c\rightarrow x$, entonces

$$F'(x)=\lim_{h\rightarrow0}f(c)=\lim_{c\rightarrow x}f(c)=f(x)$$ por definición de continuidad

$$\therefore F'(x)=f(x) \ \ \ \ \forall x\in(a,b) \ \ \ \ \Box$$

Ahora fíjese que si tenemos una función $u$ diferenciable de $x$ y $n \neq-1$, por la regla de la cadena
tendremos que

$${d\over dx}\left(u^{n+1}\over n+1 \right)=u^n{du\over dx} $$

esto indica que $(u^{n+1})/(n+1)$ es una antiderivada de $u^ndu/dx$ por lo tanto

$$\int u^{n}{du\over dx}dx=\int d\left({u^{n+1}\over n+1}\right) $$

esto es $$\int u^ndu={u^{n+1}\over n+1}+C$$

note que si $u=x$, entonces

$$ {d\over dx}\left(x^{n+1}\over n+1\right)=x^n{dx\over dx}=x^n $$

entonces $$x^ndx=d\left(x^{n+1}\over n+1\right)\Longrightarrow\int x^ndx={x^{n+1}\over n+1}+C $$

ahora un caso más particular de esto es $u=x$ y $n=1$ de donde se tendrá que

$$ {d\over dx} x=1\Longrightarrow dx=d(x) $$

por lo que $$\int dx=x+C$$

Note que si seguimos el concepto de antiderivada (como función inversa de la derivada) para las siguentes funciones obtendremos sus respectivas antiderivadas (integrales). Esto es:


Recuerde que ${d\over dx} \sin x=\cos x$ de aquí que $d(\sin x)=\cos xdx$, entonces $$ \int d(\sin x)=\int\cos xdx\Longrightarrow \int \cos xdx=\sin x+C$$


Ahora si $$ {d\over dx}\sec x=\sec x\tan x\Longrightarrow \sec x\tan xdx=d(\sec x) $$ entonces $$\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$$


Si $${d\over dx}\ln x={1\over x}\Longrightarrow d(\ln x)={1\over x}dx$$ entonces $$ \int{dx\over x}=\ln x+C $$


De igual modo si $${d\over dx}\tan^{-1}x={1\over 1+x^2}\Longrightarrow {1\over 1+x^2}dx=d(\tan^{-1}x)$$ por lo que
$$\int{dx\over1+x^2}=\tan^{-1}x+C$$


Si $${d( a^x)\over dx}=a^x\ln a\Longrightarrow d\left(a^x\over\ln a\right)=a^xdx$$ de donde se tiene que $$\int a^xdx={a^x\over\ln a}+C$$

Si se sigue la misma idea se obtendrán las respectivas integrales de otras funciones elementales, tenga ahora pendiente algunas propiedades basícas:


$$\int0dx=c$$ $$\int dx=x+C \ \ \ \ \ x\in\mathbb{R}$$
$$\int k f dx=k\int f dx \hspace{0.5cm} k\in\mathbb{R}$$
$$\int[ f\pm g]dx=\int f dx\pm\int g dx$$

Teorema fundamental del cálculo (Introducción, primera parte)
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