Supongamos ahora que tenemos una ecuanción que no es separable, exacta ni lineal de la forma $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ dicha ecuación podríamos transformarla en una que podamos resolver. Un ejemplo de esto es la sección anterior, donde, transformamos una ecuación no exacta en una exacta al igual que la ecuación de Bernoulli, por lo que aquí estudiaremos otros tipos de transformaciones.

Nos enfocaremos en las ecuaciones que se pueden transformar en una ecuación separable o lineal. Para ello se determinara el tipo de ecuación y la sustitución adecuada, luego se procede

  1. Reescribir la ecuación original en terminos de una nueva variable.
  2. Resolver dicha ecuación transformada.
  3. Y expresar la solución en terminos de la variable original.

Ecuaciones Homogéneas

Si tenemos una ecuación de forma $$y’=\dyx=f(x,y)$$ donde el lado derecho se puede expresar como una función que sólo depende de $y/x$, entonces de dice que la ecuación es homogénea.

Para resolver una ecuación homogenea de esta forma se toma la sustitución $v=y/x$ donde dicha ecuación queda expresada de la forma $$\dyx=G(v)$$ de donde sólo queda expresar $dy/dx$ en terminos de $x$ e $v$. Esto es, si $v=y/x\Longrightarrow y=xv$ teniendo que $y$ e $v$ son funciones que dependen de $x$ podemos aplicar la regla de la derivada para el producto, por que si $y=xv$, entonces $$\dyx=v+x{dv\over dx}$$ por lo que $$v+{dv\over dx}=G(v)$$ que es una ecuación separable, y se obtiene $${dv\over G(v)-v}={dx\over x}$$ solo hay que resolver y expresar la solución en terminos de $x$ e $y$.



Ejercicios Resueltos



(1). Resolver la siguiente ecuación diferencial $(xy+y^2+x^2)dx-x^2dy=0$

Solución

Esta ecuación no es exacta, separable ni lineal. Expresemosla en forma de derivada $$x^2dy=(xy+y^2+x^2)dx\Longrightarrow \dyx={xy+y^2+x^2\over x^2}={y\over x}+{\left( y\over x\right)^2 }+1$$ $$\dyx={y\over x}+{\left( y\over x\right)^2 }+1$$ tenemos aquí que el lado derecho sólo depende de $y/x$, por lo que la ecuación homogéna. Tomando la sustitución $v=y/x$ por lo que $y=vx$, entonces $$\dyx=v+x{dv\over dx}.$$ Sustituyendo en la ecuación homogénea $$v+x{dv\over dx}=v+v^2+1\Longrightarrow x{dv\over dx}=v^2+1$$ y así obtenemos una ecuación separable. Separando variables e integrando obtenemos $$x{dv\over dx}=v^2+1\Longrightarrow {dv\over v^2+1}={dx\over x}$$ $$\int {dv\over v^2+1}=\int{dx\over x}\Longrightarrow \arctan(v)=\ln|x|+c$$ aplicando la función tangente de ambos lados de esta igualdad resultante $$\tan(\arctan v)=\tan(\ln|x|+c)$$ $$v=\tan(\ln|x|+c)$$ sustituyendo $v=y/x$ se tiene que $$ {y\over x} =\tan(\ln|x|+c)$$ por lo que la solución esta dada por $${y} =x\tan(\ln|x|+c)$$



(2). Resolver la siguiente ecuación diferencial $(x-y)dx+xdy=0$

Solución

Observe que podemos tomar la sustitución $y=xv$, entonces $dy=xdv+vdx$ por lo que sustituyendo se tiene que \begin{eqnarray*} (x-xv)dx+x(vdx+xdv)&=&0\\ xdx-vxdx+vxdx+x^2dv&=&0\\ xdx+x^2dv&=&0 \ \ \ \ \mbox{dividiendo por} \ \ x^2\\ {dx\over x}+dv&=&0\\ \int{dx\over x}+\int dv&=&0\\ \\ \ln|x|+v&=&c\\ \\ \ln|x|+{y\over x}&=&c\\ \\ x \ln|x|+{y}&=&xc \end{eqnarray*} obteniendo así la solución de la ecuación diferencial dada.



(3). Resolver $(y^2+xy)dx+x^2dy=0$

Solución

Para resolver esta ecuación, primero dividamos por $x^2$ para obtener $$\left( \left( y\over x\right) ^2+{y\over x}\right) dx+dy=0$$ ahora tomemos la sustitución $v=y/x$ de donde $dy=xdv+vdx$ por lo que obtenemos \begin{eqnarray*} (v^2+v)dx+xdv+vdx&=&0\\ (v^2+v+v)dx+xdv&=&0\\ {dx\over x}+{dv\over v^2+2v}&=&0\\ {dx\over x}+{dv\over v(v+2)}&=&0\\ \end{eqnarray*}

puede verificar el lector que $$\frac{1}{v(v+1)}={1/2\over v}-{1/2\over v+2}$$
por lo que

\begin{eqnarray*} {dx\over x}+{dv\over v(v+2)}&=&0\\ {dx\over x}+\left( {1/2\over v}-{1/2\over v+2}\right) dv&=&0 \ \ \ \ \mbox{integrando}\\ \\ \int {dx\over x}+\int{1/2\over v}dv-\int{1/2\over v+2}dv&=&\int 0 \\ \\ \ln|x|+(1/2)\ln|v|-(1/2)\ln|v+2|&=&c\\ \\ 2 \ln|x|+\ln|v|-\ln|v+2|&=&c\\ \\ \ln\left| x^2v\over v+2\right| &=&c\\ \\ { x^2v\over v+2} &=&e^c=k\\ \\ \end{eqnarray*}

sustituyendo $v=y/x$ $${ x^2(y/x)\over {y\over x}+2}=k $$
$$\displaystyle{ xy\over\displaystyle {y+2x\over x}}=k \Longrightarrow {x^2y\over y+2x}=k$$

que es la solución de la ecuación.



(4). Resolver $xdx+(y-2x)dy=0$

Solución

Primero dividamos aqui por $x$ para obtener

$$dx+(y/x-2)dy=0$$

Tomando ahora la sustitución $v=y/x$, que es lo mismo que $y=vx$ de dende $dy=xdv+vdx$ por lo que si sustituimos obtenemos

\begin{eqnarray*} dx+(v-2)(xdv+vdx)&=&0\\ \\ dx+(v-2)xdv+(v-2)vdx&=&0\\ \\ (1+v^2-2v)dx+x(v-2)dv&=&0\\ \\ (v-1)^2dx+x(v-2)dv&=&0\\ \\ {dx\over x}+{v-2\over (v-1)^2}dv&=&0 \ \ \ \ \mbox{integrando}\\ \\. \int{dx\over x}+\int{v-2\over (v-1)^2}dv&=&\int0 \end{eqnarray*}

El lector puede verificar que $${v-2\over (v-1)^2}={1\over v-1}-{1\over (v-1)^2}$$

por lo que obtenemos

$$\ln|x|+\ln|v-1|+{1\over v-1}=c$$
$$\ln\left| x\left( v-1\right) \right| +{1\over v-1}=c$$

sustituyendo $v=y/x$ se tiene que
$$\ln\left| x\left( {y\over x}-1\right) \right| +{1\over {y\over x}-1}=c$$
$$\ln\left| \left( {y-x}\right) \right| +{x\over y-x}=c$$
$$(y-x)\ln\left| \left( {y-x}\right) \right| +{x}=c(y-x)$$

que es la solución deseada.



(5). Resolver $ydx+x(\ln x-\ln y-1)dy=0$

Solución

$$ydx+x\left( \ln {x\over y}-1\right) dy=0$$

tomemos la sustitución $v=x/y\Longrightarrow x=vy\Longrightarrow dx=ydv+vdy$ para obtener
\begin{eqnarray*} y(vdy+ydv)+yv(\ln v-1)dy&=&0\\ \\ yvdy+y^2dv+vy(\ln v-1)dy&=&0\\ \\ (yv+yv (\ln v-1) )dy+y^2dv&=&0\ y(v+v(\ln v-1))dy+y^2dv&=&0\\ \\ {dy\over y}+{dv\over v( 1+\ln v-1)}&=&0\\ \\ {dy\over y}+{dv\over v\ln v}&=&0 \ \ \ \ \ \ \mbox{integrando} \\ \\ \ln|y|+\ln|\ln|v||&=&c\\ \ln|y\ln|v||&=&c \ \ \ \ \ \mbox{aplicando exponencial}\\ \\ y\ln|v|&=&e^c=k \end{eqnarray*}

por lo que la solución esta dada por
$$ y\ln\left| x\over y\right| =k$$



(6). Resolver $-ydx+(x+\sqrt{xy})dy=0$

Solución

Tomemos la sustitución $v=y/x$ y sustituyendo

\begin{eqnarray*} -vxdx+(x+\sqrt{xvx})(vdx+xdv)&=&0\\ \\ -vxdx+(x+x\sqrt{v})(vdx+xdv)&=&0\\ \\ -vxdx+xvdx+x^2dv+xv^{3/2}dx+x^2\sqrt{v}dv&=&0\\ \\ x^2dv+xv^{3/2}dx+x^2\sqrt{v}dv&=&0\\ \\ x^2(1+\sqrt{v})dv&=&-xv^{3/2}dx\\ \\ {1+\sqrt{v}\over v^{3/2}}dv&=&-{x\over x^2}dx\\ \\ \int \left( v^{3/2}+{1\over v}\right) dv&=&-\int{1\over x}dx\\ \\ {v^{5/2}\over 5/2}+\ln |v|&=&-\ln|x|+c\\ \\ 2{v^{5/2}\over 5}+\ln |v|+\ln|x|&=&c\\ \\ 2{v^{5/2}\over 5}+\ln |xv|&=&c \end{eqnarray*}


sustituyendo $v=y/x$ se obtiene la solución deseada

$$ 2{(y/x)^{5/2}\over 5}+\ln |y|=c$$

Sustituciones y Transformaciones de EDO

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