Una ecuación lineal es de la forma
$$ax+b=c$$
con $a\neq0.$

Un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos variables $x$ e $y$ es de la forma

$$\left\{ a_1x+b_1y=c_1 \atop a_2x+b_2y=c_2 \right.$$

Los métodos analíticos son los que permiten la resolución (y discusión) del sistema sin necesidad de recurrir a su representación gráfica, es decir, mediante la utilización de simples operaciones aritméticas. Los métodos analíticos, que iremos viendo uno a uno, son tres:


  1. Sustitución
  2. Igualación
  3. Reducción

1. El método de sustitución De manera esquemática, para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir los siguientes pasos:


  1. Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.


  2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una incógnita que resulta de esta sustitución.


  3. Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.

2. El método de igualación El método de igualación consiste en una pequeña variante del método de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos casos, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son los siguientes:


  1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.


  2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.


  3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

3. Método de Reducción Este método consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún número de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la $x$ o los de la $y$ sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra.


  1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario


  2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.


  3. Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

  4. Para este paso hay dos opciones:

    1. Se repite el proceso con la otra incógnita.


    2. Se sustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

Cuando tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos varibales, solo puede ocurrir exactamente una de las siguientes afirmaciones:


  1. El sistema tiene exactamente una solución.


  2. El sistema no tiene solución.


  3. El sistema tiene un número infinito de soluciones.

Se dice que un sistema que no tiene solución es inconsistente. Un sistema con un infinito de soluciones se llama consistente indeterminado.

Ejercicios Resueltos

Método de sustitución

  1. $\displaystyle \left\lbrace x – y = 1\atop 4x + 3y = 18\right.$

    Despejemos la variable $x$ de la primera ecuación \begin{align*}x = 1+y\end{align*} ahora sustituimos $x$ en la segunda ecuación y despejamos la variable $y$ \begin{align*}4(1+y)+3y&=18\\ 4+4y+3y&=18\\ 7y&=18-4=14\\ y&=\frac{14}{7}=2\end{align*} ahora sustitumos $y$ para encontrar $x$ \begin{align*}x & = 1+y=1+2=3\end{align*} por lo que la solución del sistema es $x=3$ y $y=2.$



  2. $\displaystyle \left\lbrace 3x + 4y = 10\atop x – 4y = -2\right.$

    Despejemos la variable $x$ de la segunda ecuación \begin{align*}x & = 4y – 2\end{align*} ahora sustituimos $x$ en la primera ecuación y despejamos la variable $y$

    \begin{align*}3\left( 4y – 2 \right) + 4y & = 10\\ 12y – 6 + 4y & = 10\\ 16y & = 10 + 6 = 16\\ y & = \frac{16}{16} \\ y & = {1}\end{align*}

    ahora sustitumos $y$ para encontrar $x$

    \begin{align*}x & = 4y – 2=4(1)-2=2\\ x&=2\end{align*} por lo que la solución del sistema es $x=2$ y $y=1.$



  3. $\displaystyle \left\lbrace 5x + 4y = 1\atop 3x – 6y = 2\right.$

    Despejemos la variable $x$ de la segunda ecuación \begin{align*}3x & = 6y + 2\\ x & = 2y + \frac{2}{3}\end{align*} ahora sustituimos $x$ en la primera ecuación y despejamos la variable $y$

    \begin{align*}5\left( {2y + \frac{2}{3}} \right) + 4y & = 1\\ 10y + \frac{{10}}{3} + 4y & = 1\\ 14y & = 1 – \frac{{10}}{3} = – \frac{7}{3}\\ y & = – \left( {\frac{7}{3}} \right)\left( {\frac{1}{{14}}} \right)\\ y & = – \frac{1}{6}\end{align*}

    ahora sustitumos $y$ para encontrar $x$ \begin{align*}x & = 2y + \frac{2}{3}\\ x &= 2\left( { – \frac{1}{6}} \right) + \frac{2}{3} = – \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\end{align*} por lo que la solución del sistema es $x=1/2$ y $y=-1/6.$

    Método de igualación

  4. $\displaystyle \left\lbrace 5x + 4y = 1\atop 3x – 6y = 2\right.$

    Lo que aremos es despejar una de las dos variables en ambas ecuaciones. En este caso despejaremos la variable $y$ en ambas ecuaciones

    \begin{align*} 5x+4y&=1\\4y&=1-5x\\y&=\frac{1-5x}{4}\\ \\ 3x-6y&=2\\-6y&=2-3x\\y&=\frac{2-3x}{-6}=\frac{3x-2}{6}\\y&=\frac{3x-2}{6} \end{align*} igualando las $y$ \begin{align*} \frac{1-5x}{4}&=\frac{3x-2}{6}\\6(1-5x)&=4(3x-2)\\6-30x&=12x-8\\-30x-12x&=-8-6\\-42x&=-14\\x&=\frac{-14}{-42}=\frac{1}{3} \end{align*}

    sustituyendo $x$ para encontrar $y$

    \begin{align*} y&=\frac{1-5x}{4}=\frac{1-5(1/3)}{4}\\&=\frac{ \frac{3-5}{3}}{4}=\frac{ \frac{-2}{3}}{4}\\&=\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}\\ y&=-1/6 \end{align*}

    Por lo que la solución del sistema es $x=1/3$ y $y=-1/6.$



  5. $\displaystyle \left\lbrace -x + 3y = 10\atop x +2y = -4\right.$

    Despejando $y$ en ambas ecuaciones \begin{align*} -x + 3y &= 10\\ 3y&=10+x\\y&=\frac{10+x}{3}\\ \\x +2y &= -4\\2y&=-4-x\\y&=\frac{-4-x}{2}
    \end{align*} igualando las $y$ \begin{align*}
    \frac{10+x}{3}&=\frac{-4-x}{2}\\2(10+x)&=3(-4-x)\\20+2x&=-12-3x\\2x+3x&=-12-20\\5x&=-32\\x&=-{32\over5}
    \end{align*}

    sustituyendo $x$ para encontrar $y$

    \begin{align*} y&=\frac{10+x}{3}=\frac{10+\left( -{32\over5}\right) }{3}\\&=\frac{10-{32\over5}}{3}=\frac{{50-32\over 5}}{3}=\frac{{18\over 5}}{3}\\&={18\over15} \end{align*}

    Por lo que la solución del sistema es $x=-32/5$ y $y=6/5.$



  6. $\displaystyle \left\lbrace x + 3y = -2\atop x -2y = 8\right.$

    Despejando $y$ en ambas ecuaciones

    \begin{align*} x + 3y &= -2\\ 3y&=-2-x\\y&=\frac{-2-x}{3}\\ \\ x -2y &= 8\\-2y&=8-x\\y&=\frac{8-x}{-2}\\y&=\frac{x-8}{2} \end{align*}

    igualando las $y$ \begin{align*} \frac{-2-x}{3}&=\frac{x-8}{2}\\2(-2-x)&=3(x-8)\\-4-2x&=3x-24\\2x+3x&=24-4\\5x&=20\\x&={20\over5}=4\\x&=4 \end{align*}

    sustituyendo $x$ para encontrar $y$ \begin{align*} y&=\frac{-2-x}{3}=\frac{-2-\left( 4\right) }{3}\\&=\frac{-2-4}{3}=\frac{-6}{3}\\y&=-2 \end{align*} Por lo que la solución del sistema es $x=4$ y $y=-2.$

    Método de Reducción

  7. $\displaystyle \left\lbrace 5x + 4y = 1\atop 3x – 6y = 2\right.$

    Necesitamos multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para que una de las variables tenga el mismo coeficiente con signos opuestos. Entonces, dado que los términos $ y $ ya tienen signos opuestos, trabajemos con estos términos. Parece que si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por 2, los términos $ y $ tendrán coeficientes de 12 y -12, que es lo que necesitamos para este método.

    de donde tenemos que $$x={7\over 21}={1\over 3}$$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación obtenemos $y$ \begin{align*}3\left( {\frac{1}{3}} \right) – 6y & = 2\\ 1 – 6y & = 2\\ – 6y & = 1\\ y & = – \frac{1}{6}\end{align*}



  8. $\displaystyle \left\lbrace 3x + 5y =11 \atop 2x + 3y = 7 \right.$

    Multiplicando la primera ecuación 3 y la segundo por $-5$ para eliminar la variable $y$, es decir

    de donde tenemos que $$x=2$$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación obtenemos $y$ \begin{align*}3\left( 2\right) +5y & = 11\\ 6 +5y & = 11\\ 5y & = 11-6=5\\ y & = 1\end{align*} Por lo que la solución del sistema es $x=2$ y $y=1.$



  9. $\displaystyle \left\lbrace -4x + 3y =10 \atop 7x + y = 20 \right.$

    Multiplicando la primera ecuación $1$ para dejarla igual y la segundo ecuación por $-3$ para eliminar la variable $y$, es decir

    de donde tenemos que $$x=\frac{-50}{-25}\Longrightarrow x=2$$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación obtenemos $y$ \begin{align*}-4x+3y&=10\\-4(2)+3y&=10\\-8+3y&=10\\3y&=10+8=18\\y&=18/3\\y&=6\end{align*} Por lo que la solución del sistema es $x=2$ y $y=6.$

Sistema de Ecuaciones 2×2

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