Esta es, quizás, la regla más importante de la derivada puesto que nos permite calcular la derivada de la composición de dos o varias funciones, aquí la explicamos, presentamos su prueba y ejercicios resueltos. (Te puede interesar Definición de Derivada y Reglas de la derivada)

Antes de ver esto, veamos

La noción de función compuesta.

Supongamos que la función $ g $ se defina en el conjunto $ X $ y puede tomar valores en el conjunto $ U $ (es decir $g:X\to U$). En este caso decimos que la función $ g $ mapea el conjunto $ X $ en $ U $ y la función se escribe como


$$u = g (x), \text {donde} \ \ x \in X, \ u \in U$$


Ahora si definimos o tomamos otra función $ f $ en el conjunto $ U $ que va hasta el conjunto $ Y$ ($f:U\to Y$)
$$ y = f (u), \ \ \text{donde} \ \ u \in U, \ \ y \in Y $$

Esta doble función, en el que el rango del primera función es un subconjunto del dominio del segundo la segunda se llama la composición de funciones, y las funciones correspondientes forman una composición de funciones.


Si $ g: X \rightarrow U $ y $ f: U \rightarrow Y $, entonces la composición de las funciones de $ g $ y $ f $ se denota como

$$y = (f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (u)$$


y representa una función compuesta de “dos capas” o una función de una función. Si $ f $ y $ g $ son funciones diferenciables, entonces la función compuesta $ y = f (g (x)) $ también es diferenciable en $ x $ y su derivada está dada por

$$\frac {dy} {dx} = \frac {d} {dx} (f \circ g) (x) = \frac {d} {dx} f (g (x)) g ^ { \prime} (x ) = \frac {df} {du} \frac {du} {dx}$$

O lo que es lo mismo


$$(f \circ g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)$$Esto es,$$D_{x} f(g(x))=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \ \ \ \ \ \ \ \text{o} \ \ \ \ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$$

Veamos la demostración de esto. (Definición de Derivada) Supongamos que $y = f ( u )$ y que $ u = g ( x )$ y que $g$ es derivable en $x$ y que $f$ es derivable en $u=g(x)$. Cuando a $x$ se le da un incremento $\Delta x,$ existen incrementos correspondientes en $u$ y $y$ dados por$$\begin{aligned}
\Delta u &=g(x+\Delta x)-g(x) \\ \\
\Delta y &=f(g(x+\Delta x))-f(g(x)) \\ \\
&=f(u+\Delta u)-f(u)
\end{aligned}$$Así,\begin{eqnarray*}
\frac{d y}{d x} &=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x} \\ \\ &=& \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta u}\\ \\ &=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \frac{\Delta u}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}
\end{eqnarray*}

Por tanto $$\frac{d y}{d x}=\lim_{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$$


Ejercicios Resueltos


Calcular la derivada de $f(x)=\left(x^2+1\right)^3$

Recuerde que $$\frac{df\left(u\right)}{dx}=\frac{df}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$ por lo que tomando $f=u^3,\:\:u=\left(x^2+1\right)$ se obtiene

$$\frac{df(u)}{dx}=\frac{d}{du}\left(u^3\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+1\right)=3u^2\cdot \:2x$$

por tanto $$f^{\prime}(x)=\frac{df(x)}{dx}=3\left(x^2+1\right)^2\cdot \:2x=6x\left(x^2+1\right)^2$$


Calcular la derivada de $y=\left(x^2+\sqrt{x}\right)^5$

Tomando $y=u^5,\:\:u=\left(x^2+\sqrt{x}\right)$ entonces

$$y^{\prime}=\frac{d}{du}\left(u^5\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+\sqrt{x}\right)$$

$$y^{\prime}=\frac{d}{du}\left(u^5\right)\frac{d}{dx}\left(x^2+\sqrt{x}\right)=5u^4\left(2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=5\left(x^2+\sqrt{x}\right)^4\left(2x+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$$


Calcular la derivada de $\left(4x+\sqrt{x+2}\right)^2$

\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left(\left(4x+\sqrt{x+2}\right)^2\right)&=&2\left(4x+\sqrt{x+2}\right)\frac{d}{dx}\left(4x+\sqrt{x+2}\right)\\ \\ &=&2\left(4x+\sqrt{x+2}\right)\left(\frac{d}{dx}\left(4x\right)+\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+2}\right)\right)\\ \\ &=& 2\left(4x+\sqrt{x+2}\right)2\left(4+\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\cdot \: \frac{d}{dx}\left(x+2\right)\right) \\ \\ &=&2\left(4x+\sqrt{x+2}\right) \left(4+\frac{1}{2\sqrt{x+2}}\right)\\ \\ &=&1+\frac{2\left(6x+16x\sqrt{x+2}+8\right)\sqrt{x+2}}{x+2}\end{eqnarray*}


Calcular la derivada de $y=\displaystyle\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{3}$

\begin{eqnarray*}\frac{d}{dx}\left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^3\right)&=&\frac{d}{du}\left(u^3\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right) \\ \\ &=&3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\\ \\ &=&3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 \left(\frac{\frac{d}{dx}\left(x+1\right)\left(x-1\right)-\frac{d}{dx}\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\right) \\ \\ &=&3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\left(\frac{\left(x-1\right)-\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)^2}\right)\\ \\ &=& 3\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2\left(-\frac{2}{\left(x-1\right)^2}\right)\end{eqnarray*}


Calcular la derivada de $y=\displaystyle \frac{1}{\left(3 x^{2}+x-3\right)^{9}}$

\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(3x^2+x-3\right)^9}\right)&=&\frac{d}{dx}\left(3x^2+x-3\right)^{-9} \\ \\ &=& -9\left(\left(3x^2+x-3\right)^{-10}\right)\frac{d}{dx}\left(3x^2+x-3\right)\\ \\ &=& -9\left(3x^2+x-3\right)^{-10}\left(\frac{d}{dx}\left(3x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x\right)-\frac{d}{dx}\left(3\right)\right)\\ \\ &=& -9\left(3x^2+x-3\right)^{-10}(6x+1)\\ \\ &=&\frac{-9(6x+1)}{\left(3x^2+x-3\right)^{10}}\end{eqnarray*}


Calcular la derivada de $y=\displaystyle\left(\frac{x-2}{x-\pi}\right)^{-3}$

\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}\left(\left(\frac{x-2}{x-\pi }\right)^{-3}\right)&=&\frac{d}{du}\left(u^{-3}\right)\frac{d}{dx}\left(\frac{x-2}{x-\pi }\right)\\ \\ &=&-3\left(\frac{x-2}{x-\pi}\right)^{-4}\frac{d}{dx}\left(\frac{x-2}{x-\pi }\right) \\ \\ &=& -3\left(\frac{x-2}{x-\pi}\right)^{-4}\left(\frac{-\pi +2}{\left(x-\pi \right)^2}\right)\\ \\ &=&-3\left(\frac{x-\pi}{x-2 }\right)^4\frac{2-\pi }{\left(x-\pi \right)^2} \\ \\ &=&-3\frac{(x-\pi)^4}{(x-2)^4 }\frac{2-\pi }{\left(x-\pi \right)^2}\\ \\ &=&-\frac{3\left(2-\pi \right)\left(x-\pi \right)^2}{\left(x-2\right)^4}\end{eqnarray*}


Calcular la derivada de $y=\displaystyle\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$


\begin{eqnarray*}
y^{\prime}={d\over dx}\left(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\right)&=&\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}} \cdot{d\over dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\\ \\ &=&\frac{2 \sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}} \cdot \frac{(x+1)-(x-1) }{(x+1)^{2}} \\ \\
&=&\frac{2 \sqrt{x+1} \cdot \frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}}}{\sqrt{x-1}}\\ \\ &=&\frac{4 \sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}(x+1)^{2}} \\ \\ &=&\frac{4 \sqrt{x+1}}{\sqrt{(x-1)(x+1)} \sqrt{(x+1)^{3}}} \\ \\
&=&\frac{4}{\sqrt{\left(x^{2}-1\right)}(x+1)}
\end{eqnarray*}


Calcular la derivada de $y=\sqrt{x \sqrt{x}}, \ \ \ \ \ \ \ \ x>0$


\begin{eqnarray*}
y^{\prime}(x)={d\over dx}\left(\sqrt{x \sqrt{x}}\right)&=&\frac{1}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}} \cdot{d\over dx}(x \sqrt{x})\\ \\ &=&\frac{1}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}} \cdot\left({d\over dx}x \sqrt{x}+x{d\over dx}(\sqrt{x})\right) \\ \\
&=&\frac{1}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}} \cdot\left(1 \cdot \sqrt{x}+x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)\\ \\ &=&\frac{\sqrt{x}+\frac{x}{2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}}\\ \\ &=&\frac{\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2}}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}}=\frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2}}{2 \sqrt{x \sqrt{x}}} \\ \\
&=&\frac{3 \sqrt{x}}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x}}}=\frac{3}{4 \sqrt[4]{x}}
\end{eqnarray*}


Regla de la cadena
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