Un polinomio es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables los cuales podrían ser valores no determinados o desconocidos y constantes que son números fijos llamados coeficientes, o bien una sola variable.

También podemos considerar un polinomio como una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Las variables tienen exponentes naturales, incluido el cero, y cuyo valor máximo es a lo que se le llama grado del polinomio. Esto productos son de la forma

$$a_nx^n \ \ \mbox{donde } \ \ \ \ a_n\in \mathbb{R}, \ n\in\mathbb{N}$$

Para $ {\displaystyle a_{0},\;\ldots ,\;a_{n}}$ constantes en algún conjunto numérico como $ \mathbb{R}$ o $ \mathbb{C}$, con $a_n$ distinto de cero y $ {\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, entonces un polinomio $P$ de grado $n$ en la variable $x$ es una expresión de la forma

$$ {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.}$$

Y lo representamos de manera ascendente:

$$P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n$$

el polinomio lo podemos escribir en forma de sumatoria:

$$ {\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.}$$

Las constantes $a_0, …, a_n$ se llaman los coeficientes del polinomio. A $a_0$ se le llama el coeficiente independiente y a $a_n$, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), y un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales.

Un polinomio como ya mencionamos es la suma de varios monomios. En otras palabras un monomio es un polinomio que consta de un solo término.

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable, por ejemplo


  1. $P(x) = 5$, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
  2. $ P(x) = 2x + 9$, polinomio de grado uno.
  3. $P(x) = 5x^2+ 4x$, polinomio de grado dos.
  4. $P(x) = 7x^3-5x + 2$, polinomio de grado tres.
  5. $P(x) = 6x^4+ 7x + 2$, polinomio de grado cuatro.
  6. $ P(x) = 3x^5+ 3x + 7$, polinomio de grado cinco.


El polinimio cero es el $0$, tiene grado $-1$. Actúa de elemento neutro aditivo: $P(x) +0= P(x)$, para cualquier $P(x)$. El polinomio de grado cero es aquel que no lleva la indeterminada. Son los elementos no nulos de conjuntos numéricos correspondientes.

Como ya hemos mencionado tambien se pueden tener en varias varibales, como por ejemplo
$$4xy^2-3x^3y^4+2x, \ \ \ \ 4x^3y^5z+6x^5y-5y^7z^9 $$

De igual manera tenemo que tener pendiente que:



  1. Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio: $$x^4y + 8a^2b^2y^3 ; \ \ \ \ 7x^5 + 3$$ son dos binomios

  2. Cuando consta de tres monomios se denomina trinomio:

    $$5x^3 + 7x^6 + 5; \ \ \ 3xy^6-7x^5+3x^2y^3$$ son dos trinomios.

Con más de tres términos (monomios) ya se denomina en general polinomio

Veamos ahora las operaciones de polinomios.


Suma y Resta

La suma de polinomios es una operación en la que partiendo de dos polinomios ${\displaystyle P(x)}$ y $Q(x)$, obtenemos un tercero ${\displaystyle S(x)}$, que es la suma de los dos anteriores, ${\displaystyle S(x)}$ tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de ${\displaystyle P(x)}$ y $Q(x)$ del mismo grado. O sea, sumamos los coeficies de las variables que tengan igual grado.

Si tenemos dos polinomios $ {\displaystyle P(x)}$ y $ Q(x)$ de la forma $${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}; \ \ \ \ {\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}$$ la suma se define como el polinomio $ {\displaystyle S(x)},$ el cual será:

$$ {\displaystyle S(x)=P(x)+Q(x)\,}$$ que es lo mismo que:

$${\displaystyle S(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}}$$ sacando factor común a las potencias de $x$ en cada monomio:

$$ { S(x)=\sum_{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$$

Esto es facil de verificar sabiendo que

$$P(x)_{}^{}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n$$ y $$Q(x)_{}^{}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}=b_0+b_1x+b_2x^2+…+b_nx^n$$ tomando apartir de aqui la suma $S(x)$ como se indico anteriormente $$S(x)=P(x)+Q(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}$$ entonces

\begin{eqnarray*}S(x)&=&a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n+b_0+b_1x+b_2x^2+…+b_nx^n\\
&=&(a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+(a_2+b_2)x^2+…+(a_n+b_n)x^n
\end{eqnarray*}
por lo que la suma está definida por $${\displaystyle S(x)=P(x)+Q(x)=\sum_{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}}$$

Producto

La multiplicación o producto lo dividiremos en tres casos distintos.

1. Multiplicación de un polinomio por una constante Si tomamos un polinomio $P(x)$, el producto de este polinomio por una constante cualquiera $k$, es un polinomio $k\cdot P(x)$, en el cual cada uno de los coeficientes que posee el polinomio se multiplica por la constante $k$. Teniendo en cuenta que le polinomio es de la forma

$${\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}\,x^{i}}=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n$$

multiplicando este por la constante $k$, es decir

$${\displaystyle k\cdot P(x)=k\cdot \sum_{i=0}^{n}a_{i}\,x^{i}}=\sum_{i=0}^nk\cdot a_ix^i$$

es decir $$k\cdot P(x)=k\cdot(a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n)$$ $$k\cdot P(x)=k\cdot a_0+k\cdot a_1x+k\cdot a_2x^2+…+k\cdot a_nx^n$$

2. Multiplicación de un polinomio por un monomio Suongamos que tenemos un polinomio $ {\displaystyle P(x)}$, y un monomio ${\displaystyle M(x)}$, el producto ${\displaystyle P(x)\cdot M(x)}$ es un polinomio que resulta de multiplicar cada coeficiente coeficiente del polinomio por el del monomio y sumar a los grados de cada termino del polinomio el del monomio; veamos: si el polinomio y el monomio son:

$$P(x)_{}^{}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n, \ \ \ \ {\displaystyle M(x)=b\,x^{j}}$$

respectivamente. El producto del polinomio por el monomio es:

\begin{eqnarray*} P(x)\cdot M(x)&=&\sum_{i=0}^n(a_ix^i)\cdot bx^j=(a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n)\cdot bx^j\\ &=&a_0\cdot bx^j+a_1x\cdot bx^j+a_2x^2\cdot bx^j+…+a_nx^n\cdot bx^j\\ &=&(a_0\cdot b)x^j+(a_1\cdot b)(x\cdot x^j)+(a_2\cdot b)(x^2\cdot x^j)+\\ &&…+(a_n\cdot b)(x^i\cdot x^j)\\ \displaystyle P(x)\cdot M(x)&=&\sum _{i=0}^{n}(a_{i}\cdot b)\,(x^{i}\cdot x^{j}) \end{eqnarray*}


El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes, por tanto:

$$ {\displaystyle P(x)\cdot M(x)=\sum_{i=0}^{n}(a_{i}\cdot b)\,x^{i+j}}$$

3. Multiplicación de dos polinomios

Si tenemos dos polinomios $ P(x)$ de grado $n$ y $Q(x)$ de grado $m$, el producto de ambos polinomios $P(x) \cdot Q(x)$ será un polinomio de grado $n + m$, así si tenemos que:

$$ {\displaystyle P(x)=\sum_{i=0}^{n}a^{i}x^{i}}, \ \ \
{\displaystyle Q(x)=\sum_{j=0}^{m}b^{j}x^{j}}$$
entonces:

$$ {\displaystyle P(x)\cdot Q(x)={\Big (}\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}{\Big )}\cdot {\Big (}\sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}{\Big )}}$$


aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:
$$ {\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}(a_{i}x^{i})\cdot (b_{j}x^{j})}$$


agrupando términos:


$$ {\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i}x^{j}}$$


operando potencias de la misma base:


$$ {\displaystyle P(x)\cdot Q(x)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j}}$$

reordenando esta sumatoria se obtiene que

$${\displaystyle P(x)Q(x){}^{}=} {\displaystyle \left(\sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\right)\left(\sum_{j=0}^{n}b_{j}x^{j}\right)=}{\displaystyle \sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{p=0}^{k}a_{p}b_{k-p}\right)x^{k}}$$

División

La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios $P(x)$ llamado dividendo y $Q(x)$ llamado divisor, de modo que el grado de $P(x)$ sea mayor que el grado de $Q(x)$ y el grado de $Q(x)$ sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios $q(x)$ llamado cociente y $R(x)$ llamado resto que podemos representar:

$${\displaystyle P(x)=Q(x)\cdot q(x)+R(x)\,}$$ o sea $${P(x)\over Q(x)}=q(x)+{R(x)\over Q(x)}$$

El grado de $q(x)$ está determinado por la diferencia entre los grados de $P(x)$ y $Q(x)$, es decir $n-m$, mientras que el grado de $R(x)$ será, como máximo, un grado menor que $Q(x)$ o sea $m-1$.



Ejercicios Resueltos



4. Ejercicios de suma


  1. $3x + 2x = 5x $



  2. $6x-15x=-9x$



  3. $3x^2 +2x^2 -3x+5x=5x^2 +2x$



  4. $-4x + 7 – (5x – 3)$ $$= -4x + 7 – 5x + 3
    = -4x + 10$$



  5. $x^2 -3x-2x^3 -x=-x^2 -4x$



  6. $ (2x + 5y) + (3x – 2y)$ $$=2x + 5y + 3x – 2y=2x + 3x + 5y – 2y=5x + 3y$$



  7. $\left(-5x^{2}–10x+2\right)+\left(3x^{2}+7x–4\right)$
    $$=\begin{array}{c}{\left(3x^{2}-5x^{2}\right)}+{\left(7x-10x\right)}+{\left(2-4\right)}\end{array}=-2x^{2}-3x-2$$



  8. $\left ( 4x^{2}+3x-14\right )+\left( x^{3}-x^{2}+7x+1 \right)$
    $$= x^{3}+\begin{pmatrix} 4x^{2}{ \, -\, x^{2}} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3x \, +\, 7x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -14\, +\, 1 \end{pmatrix}=x^{3}+3x^{2}+10x-13$$



  9. $(5x^2 + 2) – (- 4x^2 + 7) + (- 3x^2- 5)$
    \begin{eqnarray*} &=& 5x^2 + 2 + 4x^2- 7 – 3x^2- 5\\ &=& 5x^2 + 4x^2- 3x^2 + 2 – 7 – 5\\ &=& 6x^2- 10 \end{eqnarray*}



  10. $5x -2 + y + (-3y + 5x + 2)$ $$= 5x + 5x + y – 3y – 2 + 2
    = 10x – 2y$$



  11. $(2 x y + x + 5) – (3 x y -2x + 7) $
    \begin{eqnarray*} &=& (2 x y + x + 5) + (- 3 x y + 2x – 7)\\ &=& (2 x y – 3 x y) + (x + 2x) + (7 – 7)\\ &=& – x y + 3x \end{eqnarray*}



  12. $\left(15x^{2}+12x+20\right)-\left(9x^{2}+10x+5\right)$
    \begin{eqnarray*} &=&\left(15x^{2}+12x+20\right)-9x^{2}-10x-5\\ &=&15x^{2}-9x^{2}+12x-10x+20-5\\ &=&6x^{2}+2x+15 \end{eqnarray*}



  13. $(5x^3+3x^2y+4xy-6y^2)+(3x^2+7x^2y-2xy+4xy^2-5)$
    \begin{eqnarray*} &=& 5x^3+3x^2+(3+7)x^2y+(4-2)xy+4xy^2-6y^2-5\\ &=& 5x^3+3x^2+10x^2y+2xy+4xy^2-6y^2-5 \end{eqnarray*}



  14. $[(3x-5)+2x]-[(6x-2)-(9x+7)]$
    \begin{eqnarray*} &=&[3x-5+2x]-[6x-2-9x-7]\\ &=&[3x+2x-5]-[6x-9x-2-7]\\ &=&[(3+2)x-5]-[(6-9)x-(2+7)]\\ &=&[5x-5]-[-3x-9]\\ &=&5x-5+3x+9\\ &=&5x+3x-5+9\\ &=&8x+4 \end{eqnarray*}




5. Multiplicación

  1. $-9x^{3}\cdot 3x^{2}=-9\cdot3\cdot x^{3}\cdot x^{2}$ $$=-27\cdot x^{3}\cdot x^{2}=-27\cdot x^{3+2}=-27\cdot x^{5}$$



  2. $ 6(3x+2)=18x+12$
  3. $x\cdot \left ( 2x^{2}+4x-3 \right )$ $$=x\cdot 2x^{2}+x\cdot 4x+x\cdot \left (-3 \right )=2x^{3}+4x^{2}-3x$$



  4. $5x^2\left(4x^{2}+3x\right)$

    \begin{eqnarray*}5x^2\left(4x^{2}+3x\right)&=&5x^2\left(4x^{2}\right)+5x^2\left(3x\right)\\
    &=&20x^{2+2}+15x^{2+1}\\ &=&20x^{4}+15x^{3}\
    \end{eqnarray*}



  5. $(x – 1)(5x + 6) $
    $$= x\cdot(5x + 6)-1\cdot (5x + 6) = 5x^2+6x-5x-6 = 5x^2+x-6$$



  6. $(3x + 7)(x^2+x-2)$
    \begin{eqnarray*} (3x + 7)(x^2+x – 2)&=& 3x\cdot(x^2+x – 2) + 7\cdot (x^2+x-2) \\ &=& 3x^3+3x^2-6x+ 7x^2+7x-14\\ & =& 3x^3+10x^2 +x -14 \end{eqnarray*}



  7. $(x^2+x – 2)(x^2+x – 2) $
    \begin{eqnarray*} (x^2+x – 2)(x^2+x – 2) &=& x^2(x^2+x-2)+x(x^2+x-2)-2(x^2+x-2) \\ &=& x^4+x^3 -2x^2 +x^3+x^2 -2x -2x^2- 2x+4 \\ &=& x^4+2x^3 -3x^2 -4x+4 \end{eqnarray*}



  8. $\left(x^6+5x^5-3x^2+2x-1\right)\left(5x^4-3x+6\right)$

    \begin{eqnarray*} &=&x^6\cdot\:5x^4+x^6\left(-3x\right)+x^6\cdot\:6+5x^5\cdot\:5x^4+5x^5\left(-3x\right)+5x^5\cdot\:6\\ &&+\left(-3x^2\right)\cdot\:5x^4+\left(-3x^2\right)\left(-3x\right)+\left(-3x^2\right)\cdot\:6+2x\cdot\:5x^4\\ &&+2x\left(-3x\right)+2x\cdot\:6+\left(-1\right)\cdot\:5x^4+\left(-1\right)\left(-3x\right)+\left(-1\right)\cdot\:6\\ &=&x^6\cdot 5x^4+x^6(-3x)+x^6 \cdot 6+5x^5\cdot 5x^4+5x^5(-3x)+5x^5\cdot 6\\ &&+(-3x^2)\cdot 5x^4+(-3x^2)(-3x)+(-3x^2)\cdot 6+2x\cdot 5x^4\\ &&+2x(-3x)+2x\cdot 6+(-1)\cdot 5x^4+(-1)(-3x)+(-1)\cdot 6\\ &=&5x^{10}+25x^9-3x^7-24x^6+40x^5-5x^4+9x^3-24x^2+15x-6 \end{eqnarray*}



  9. $\displaystyle \left(\frac{1}{3}x^4+2x^3-2\right)\left(\frac{5}{6}x^3+5x-3\right)$

    \begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{3}x^4+2x^3-2\right)\left(\frac{5}{6}x^3+5x-3\right)&=&\frac{x^4}{3}\cdot\frac{5x^3}{6}+\frac{x^4}{3}\cdot\:5+\frac{x^4}{3}\left(-3\right)+2x^3\frac{5x^3}{6}\\ &&+2x^3\cdot\:5x+2x^3\left(-3\right)+\left(-2\right)\frac{5x^3}{6}\\ &&+\left(-2\right)\cdot\:5x+\left(-2\right)\left(-3\right) \\ &=&\frac{5x^7}{18}+\frac{5x^6}{3}+\frac{5x^5}{3}-x^4+10x^4-6x^3\\ && -\frac{5x^3}{3}-10x+6\\ &=&\frac{5x^7+30x^6+30x^5+162x^4-138x^3-180x}{18}+6 \end{eqnarray*}



  10. $\left(6x^4-2\right)\left(2x^3+5x-3\right)$
    \begin{eqnarray*} \left(6x^4-2\right)\left(2x^3+5x-3\right)&=&6x^4\cdot \:2x^3+6x^4\cdot \:5x+6x^4\left(-3\right)\\ &&+\left(-2\right)\cdot \:2x^3+\left(-2\right)\cdot \:5x+\left(-2\right)\left(-3\right)\\ &=&6\cdot \:2x^4x^3+6\cdot \:5x^4x-6\cdot \:3x^4-2\cdot \:2x^3-2\cdot \:5x+2\cdot \:3\\ &=&12x^7+30x^5-18x^4-4x^3-10x+6 \end{eqnarray*}

6. División

Podemos observar que el cociente aquí es $q(x)=x^2+2x+2$ y el reciduo $R(x)=1$ por lo que $$\frac{x^3+x^2-1}{x-1}=x^2+2x+2+{1\over x-1}$$ o lo que es lo mismo

$${x^3+x^2-1}=(x-1)(x^2+2x+2)+{1}$$



Por lo que el cociente es $q(x)=-x-1$ y el resto $R(x)=4x-4$. De aquí que $$2x^2-x^3-3x^2+7x-12=(x^2-3)(-x-1)+4x-4$$



El cociente es $q(x)=(3/2)x^2-(3/4)x-(17/8)$ y el resto es $$R(x)=-(15/8)x+12$$ por lo que $$3x^4-5x^2-4x+12=(2x^2+x)[(3/2)x^2-(3/4)x-(17/8)]+(15/8)x+12$$

Polinomios
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