Este método se basa en la derivada de la función compuesta, aplicando la regla de la cadena. Consiste en sustituir el integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar.

Si escogemos un cambio de variable de modo que al aplicarlo obtenemos en el integrando una función multiplicada por su derivada, la integral será inmediata. Pero en ocasiones un cambio mal escogido puede complicar más la integral.

Teorema (Regla de sustitución) Si $u=g(x)$ es una función que depende de $x$ y $f$ es continua en $I$, entonces $$ \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du $$ Demostración

Fíjese que por regla de la cadena $F(g(x))$ es una antiderivada de $f(g(x))g'(x)$, esto es $$ {d\over dx} F(g(x))=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)$$
si tomamos $u=g(x)$, entonces se tendrá que $$\int f(g(x))g'(x)dx=\int{d\over dx} F(g(x))dx=F(g(x))+C=
F(u)+C=\int F'(u)du=\int f(u)du $$

$$\therefore \int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du \ \ \ \ _\blacksquare$$

Para evaluar una integral por el método de sustitución, o sea, si $$\int f(g(x))g'(x)dx$$ siempre que $f$ y $g’$ sean funciones continuas:

  • Se sustituye $u=g(x)$ y $du/dx=g'(x)$, entonces $du=g'(x)dx$ para obtener $\int f(u)du.$
  • Intégrese respecto de $u$.
  • Sustituya $u$ por $g(x)$ en el resultado.

Ejercicios Resueltos


Evalúe $\displaystyle \int 2(2x+4)^5dx $

Solución

Note que si tomamos $u=2x+4$, entonces $du/dx=2 $ de aquí que $du=2dx$, de donde tendremos que
$$ \int2(2x+4)^5dx=\int u^5du={u^6\over6}+C $$
sustituyendo $u=2x+4$
$$\int2(2x+4)^5dx={(2x+4)^6\over6}+C$$


Evalúe $\displaystyle \int7\sqrt{7x-1}dx $

Solución

Note que si tomamos $u=7x-1$, entonces $du/dx=7 $ de aquí que $du/7=dx$, de donde tendremos que

$$ \int7\sqrt{7x-1}dx=\int\sqrt{u}du=\int u^{1/2}du={u^{1/2+1}\over {1/2}+1}+C={u^{3/2}\over3/2}+C={2u^{3/2}\over3}+C $$
sustituyendo $u=7x-1$, tendremos que
$$ \int7\sqrt{7x-1}dx={2(7x-1)^{3/2}\over3}+C $$


Evalúe $\displaystyle \int \sec2x\tan2xdx $

Solución

Si tomamos $u=2x$, entonces $du=2dx$, sustituyendo tendremos que

$$ \int\sec2x\tan2xdx= {1\over2}\int\sec u\tan udu={1\over2}\sec u+C $$

sustituyendo $u=2x$, tendremos que

$$\int\sec2x\tan2xdx={1\over2}\sec2x+C$$


Evalúe $\displaystyle \int \csc^2x\cot xdx $

Solución

Si $u=\cot x$, entonces $du=-\csc^2xdx$, por lo que

$$\int\csc^2x\cot xdx=-\int udu=-{u^2\over2}+C$$

por lo que sustituyendo a $u=\cot x$ se tiene que

$$\int\cot x\csc^2xdx=-{1\over2}\csc^2x+C$$


Evalúe $\displaystyle \int {dx\over\sqrt{5x+8}} $

Solución

Si $u=5x+8\Longrightarrow du=5dx\Longrightarrow du/5=dx$, tendremos que

$$\int{dx\over \sqrt{5x+8}}={1\over5}\int u^{-1/2}du={2\over5}u^{1/2}+C$$

por lo que sustituyendo $u=5x+8$, tendremos que

$$ \int{dx\over\sqrt{5x+8}}={2\over5}\sqrt{5x+8}+C $$

Otra manera sería tomando $u=\sqrt{5x+8}$, de donde tendríamos

$$du=\frac{5dx}{2\sqrt{5x+8}}\Longrightarrow {2\over5}du=\frac{dx}{\sqrt{5x+8}}$$ por lo que

$$ \int {dx\over\sqrt{5x+8}} ={2\over5}\int du={2\over5}u+C={2\over5}\sqrt{5x+8}+C $$


Evalúe $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2} $

Solución

Sea $u=1+\sqrt{x}$, de donde tendremos que $du={dx/2\sqrt{x}}$, por lo que

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}=2\int u^{-2}du=-2u^{-1}+C $$

por lo que sustituyendo $u$ tendremos

$$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^2}={-2\over 1+\sqrt{x}}+C$$


Evalúe $\displaystyle \int\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$

Solución

Si tomamos $u$ el denominador tendremos $u=e^x+e^{-x}$, entonces $$du=\left( e^x-e^{-x}\right)dx$$ tendremos entonces que

$$ \int\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}dx=\int {du\over u}=\ln|u|+C $$ por lo que

$$\int\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}dx=\ln|e^x+e^{-x}|+C $$


Evalúe $\displaystyle \int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sin^2\sqrt{x}} dx $

Solución

Sea $u=\sqrt{x}\Longrightarrow du=dx/2\sqrt{x}$ por lo que se tiene que
$$\int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sin^2\sqrt{x}} dx=2\int\frac{\cos u}{\sin^2u}du$$
fíjese que podemos ahora tomar otra sustitución, siendo $y=\sin u$ de donde $dy=\cos udu$, por lo que $$\int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sin^2\sqrt{x}} dx=2\int\frac{\cos u}{\sin^2u}du=2\int {dy\over y^2}=2\int y^{-2}dy=-2y^{-1}+C$$
$$=-{2\over\sin u}+C=-{2\over\sin\sqrt{x}}+C $$ $$\therefore \int \frac{\cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sin^2\sqrt{x}} dx=-{2\over\sin\sqrt{x}}+C$$


Evalúe $\displaystyle \int\sec xdx$

Solución

Fíjese que podemos multiplicamor por $\displaystyle\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$ $$\int\sec xdx=\int\sec x\left(\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x} \right)dx$$ $$=\int\frac{\sec^2x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}dx$$
$$ \mbox{si tomamos $u=\sec x+\tan x$, entonces }
du=(\sec^2 x+\sec x\tan x)dx $$ $$ \mbox{por lo que }\ \ \int \sec xdx=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|\sec x+\tan x|+C$$
$$ \therefore \int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$


Método de sustitución para integrales indefinidas
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