Este artificio de integración se fundamenta en la fórmula del diferencial del producto de dos funciones.

Séa $u$ y $v$ dos funciones derivables de $x\Longrightarrow$ $$d(uv)=udv+vdu\Longrightarrow \int d(uv)=\int udv+\int vdu$$ $$uv = \int udv+\int vdu$$ $$\Longrightarrow \int udv=uv-\int vdu$$ que es la fórmula de integración por partes.

Puede verse en la misma que este artificio consiste en la descomposición de la integral dada en dos factores $u$ y $dv$, pero note que el miembro derecho aprarecen dos nuevos factores que son $v$ y $du$ lo cual significa que una vez integrado $u$ devemos diferenciala para obtener $du$ e integral de $dv$ para obtener $v$.

La integral que aparece a la derecha $\int vdu$, debe ser más fácil que la original si se ha hecho una buena elección de los factores. $u$ debe ser la parte de la integral de más dificil integración o aquella que tiene la mayor complicación.

$dv$ debe ser la parte más fácil de la integral.


Aplición:

Este artificio de integración se recomienda aplicar a las siguientes

  1. El producto de funciones algebraicas y trascendentes.
  2. En productos de funciones exponenciales y trigonométricas seno y coseno.
  3. En funciones logarítmicas.
  4. En funciones trigonométricas inversas.
  5. En potencias impares de secante y cosecante.

Ejercicios Resueltos


Evalúe $\displaystyle \int x\cos xdx $

Solución

Atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que $$ u=x\Longrightarrow du=dx $$
$$ dv=\cos xdx\Longrightarrow v=\sin x $$
sustituyendo tendremos que $$\displaystyle \int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx$$
puesto que $\int\sin xdx=-\cos x+C$ $$\int x\cos xdx=x\sin x-(-\cos x)+C$$
$$\therefore \int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$$


Evalúe $ \displaystyle \int \ln xdx $

Solución

Atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que
$$ u= \ln x \Longrightarrow du={1\over x}dx $$
$$ dv= dx\Longrightarrow v=x $$
sustituyendo tendremos que $$\int\ln xdx=x\ln x-\int x{dx\over x}=x\ln x-\int dx$$
$$\Longrightarrow \int \ln xdx=x\ln x-x+C$$
$$\therefore \int \ln xdx=x(\ln x-1)+C$$


Evalúe $ \displaystyle \int x^2e^xdx $

Solución

Atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que
$$ u= x^2 \Longrightarrow du=2xdx $$
$$ dv=e^x dx\Longrightarrow v=e^x $$
$$\Longrightarrow \int x^2e^xdx=x^2e^x-2\int xe^xdx$$ si tomamos
$$ \int xe^xdx $$
$$w=x\Longrightarrow dw=dx $$ $$dz=e^xdx\Longrightarrow z=e^x$$
$$ \int xe^xdx =xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C $$
sustituyendo
$$ \Longrightarrow \int x^2e^xdx=x^2e^x-2\left(xe^x- e^x \right)+C $$
$$\therefore \int x^2e^xdx=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$$


Evalúe $\displaystyle \int e^x\cos xdx $

Solución

Atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que
$$ u= e^x \Longrightarrow du=e^xdx $$
$$ dv= \cos x dx\Longrightarrow v= \sin x$$ sustituyendo tendremos
$$\int e^xcos xdx=e^x\sin x-\int e^x\sin xdx$$ aplicando por partes nuevamente a $\int e^x\sin xdx$ tendremos que $$u=e^x\Longrightarrow du=e^xdx$$ $$ dv=\sin xdx \Longrightarrow v=-\cos x $$

$$\Longrightarrow \int e^x\sin xdx=-e^x\cos x-\int(-\cos x)e^xdx
= -e^x\cos x+\int e^x\cos xdx$$entonces tendremos que
$$\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-\left( -e^x\cos x+\int e^x\cos xdx\right)$$
$$ =e^x\sin x+e^x\cos x-\int e^x\cos xdx $$ pasando la integral
$$ 2 \int e^x\cos xdx =e^x\sin x+e^x\cos x+C$$
$$ \therefore \int e^x\cos xdx ={e^x\sin x+e^x\cos x\over2} +C$$


Obtenga la fórmula que exprese la integral $\displaystyle\int \cos^nxdx$ en términos de una integral con potencia menor de $\cos x$.

Solución

Note que $\cos^nx=\cos^{n-1}x\cos x$

$\Longrightarrow \displaystyle\int \cos^nxdx=\int\cos^{n-1}x\cos xdx $

Ahora atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que
$$ u= \cos^{n-1}x \Longrightarrow du=-(n-1)\cos^{n-2}x\sin xdx $$
$$ dv= \cos x dx\Longrightarrow v= \sin x$$ entonces tenemos que

$$\int \cos^nxdx=\sin x \cos^{n-1}x+(n-1) \int \sin^2x\cos^{n-2}xdx$$
$$ =\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int (1-\cos^2x)\cos^{n-2}xdx$$
$$ =\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int(\cos^{n-2}x-\cos^nx)dx$$
$$=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\left[\int \cos^{n-2}xdx-\int \cos^nxdx\right]$$


$$\int \cos^nxdx =\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int \cos^{n-2}xdx-(n-1)\int\cos^nxdx$$ pasando $(n-1)\int\cos^nxdx$ al lado izquierdo se tiene

$$\int\cos^nxdx+(n-1)\int\cos^nxdx =\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int \cos^{n-2}xdx$$
$$n\int \cos^nxdx =\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int \cos^{n-2}xdx$$
$$\therefore\int\cos^nxdx ={\sin x\cos^{n-1}x\over n}+{(n-1)\over n}\int \cos^{n-2}xdx$$


Evalúe $\displaystyle \int x(\ln x)^2dx $

Solución

Atendiendo a la fórmula $$\int udv=uv-\int vdu$$ entonces tendremos que
$$ u=(\ln x)^2 \Longrightarrow du={2\ln x\over x}dx $$
$$ dv=x dx\Longrightarrow v={x^2\over2} $$ de donde se tendrá que

$$\int x(\ln x)^2dx={x^2\over 2}(\ln x)^2-\int {x^2\over2}{2\ln x\over x}dx={x^2\over 2}(\ln x)^2-\int x\ln x dx$$

aplicando el método a $\int x\ln xdx\Longrightarrow$
$$ w=\ln x \Longrightarrow dw={1\over x}dx $$
$$ dz=x dx\Longrightarrow z={x^2\over2} $$
$$\Longrightarrow\int x\ln xdx ={x^2\over 2}\ln x-{1\over 2}\int{x^2\over x}dx={x^2\over 2}\ln x-{1\over 2}\int{x}dx$$

$$\int x(\ln x)^2dx={x^2\over 2}(\ln x)^2-\int x\ln x dx\
={x^2\over 2}(\ln x)^2-\left( {x^2\over 2}\ln x-{1\over 2}\int{x}dx \right) $$
$$ ={x^2\over 2}(\ln x)^2- {x^2\over 2}\ln x+{1\over 2}{x^2\over 2}+C $$
$$ \therefore\int x(\ln x)^2dx ={x^2\over 2}\left((\ln x)^2-\ln x+{1\over 2}\right)+C$$


Evalúe $\displaystyle \int x\sqrt{1+x}dx$

Solución

Observese que si tomamos
$$u=x\Longrightarrow du=dx$$
$$dv=(1+x)^{1/2}\Longrightarrow v={2\over3}(1+x)^{3/2}$$
entonces
$$\int x\sqrt{1+x}dx={2\over3}x(1+x)^{3/2}-{2\over3}\int(1+x)^{3/2}dx$$

$$\int x\sqrt{1+x}dx={2\over3}x(1+x)^{3/2}-{2\over3}\left( 2\over5 \right)(1+x)^{5/2}+C$$

$$\therefore\int x\sqrt{1+x}dx={2\over3}x(1+x)^{3/2}-{4\over15}(1+x)^{5/2}+C$$


Evalúe $\displaystyle \int\ln(x^2+1)dx$

Solución

Tomemos $$u=\ln(x^2+1)\Longrightarrow du={2xdx\over x^2+1}$$
$$dv=dx\Longrightarrow v=x$$

entonces
$$ \int\ln(x^2+1)dx=x\ln(x^2+1)-\int{2x^2dx\over x^2+1} $$

puede verificarse que
$${2x^2\over x^2+1}=2-{2\over x^2+1}$$
entonces
$$ \int\ln(x^2+1)dx=x\ln(x^2+1)-\int\left( 2-{2\over x^2+1} \right)dx $$

$$\therefore\int\ln(x^2+1)dx=x\ln(x^2+1)-2x-2\arctan x+C$$


Evalúe $\displaystyle \int\sin\sqrt{x}dx$

Solución

Observando que no es conveniente aplicar el método de integración por partes de inmediato, primero
tomemos la sustitución $y=\sqrt{x}$, entonces $y^2=x$, por lo que $dx=2ydy$ de donde tendremos que
$$\int\sin\sqrt{x}dx=2\int y\sin ydy$$
aplicando ahora integración por partes, tomando
$$u=y\Longrightarrow du=dy$$
$$dv=\sin ydy\Longrightarrow v=-\cos y$$
entonces $$2\int y\sin ydy=2\left( -y\cos y+\int \cos ydy \right)=-2y\cos y+2\int \cos ydy $$
por lo que
$$\int\sin\sqrt{x}dx=2\int y\sin ydy=-2y\cos y+2\sin y+C $$
sustituyendo $y=\sqrt{x}$
$$\therefore\int\sin\sqrt{x}dx=-2\sqrt{x}\cos\sqrt{x}+2\sin\sqrt{x}+C$$


$\displaystyle \int \arccos\left(x\over2\right)dx $

Solución

Puede notarse que si usamos la sustitución $$y=\arccos {x\over2}\Longrightarrow \cos y=\cos\left(\arccos {x\over2}\right)$$
$${x\over 2}=\cos y\Longrightarrow dx=-2\sin ydy$$
sustituyendo tendremos $$\int\arccos {x\over2}dx=-2\int y\sin y ydy$$

aplicando el método de integración por partes a $\int y\sin ydy$, entonces tendremos que
$$-2\int y\sin ydy=-2(y\cos y+\sin y)+C$$ sustituyendo $y$ tendremos
$$\int\arccos\left(x\over 2\right)dx=-2\int y\sin ydy=-2(y\cos y+\sin y)+C$$
$$ \int\arccos\left(x\over 2\right)dx =-2\arccos\left(x\over 2\right)\cos\left(\arccos\left(x\over 2\right)\right)-2\sin\left(\arccos\left(x\over 2\right)\right)+C$$ \ \
$$\therefore\int\arccos\left(x\over 2\right)dx=-x\arccos\left(x\over 2\right)-2\sin\left(\arccos\left(x\over 2\right)\right)+C $$


Evalúe $\displaystyle \int \sin(\ln x)dx$

Solución

Tomando
$$ u=\sin(\ln x) \Longrightarrow du={\cos(\ln x)\over x}dx $$
$$ dv= dx\Longrightarrow v=x $$

entonces $$\int\sin(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-\int{x\cos(\ln x)\over x}dx=x\sin(\ln x)-\int\cos(\ln x)dx$$ aplicándole por partes a $\int\cos(\ln x)dx$
$$ u=\cos(\ln x) \Longrightarrow du=-{\sin(\ln x)\over x}dx $$
$$ dv= dx\Longrightarrow v=x $$

$$\int\sin(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-\int{x\cos(\ln x)\over x}dx=x\sin(\ln x)-\int\cos(\ln x)dx$$
$$ =x\sin(\ln x)-\left(x\cos(\ln x)-\int{-x\sin(\ln x)\over x}dx \right)$$ $$=x\sin(\ln x)-x\cos(\ln x)-\int{\sin(\ln x)}dx $$

$$2\int\sin(\ln x)dx=x\sin(\ln x)-x\cos(\ln x)+C$$
$$ \therefore \int\sin(\ln x)dx={x\sin(\ln x)-x\cos(\ln x)\over 2}+C$$

Integración por partes
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