Ya sabemos que $\sqrt{2}$ es irracional, la pregunta es ¿Como se prueba esto? Pues aquí lo esplicaremos.

Primera versión

Esta prueba se hace por reducción al absurdo, esto es asumir la negación de lo que se quiere probar.

Supongamos que $\sqrt{2}$ es racional, y por ende se pude escribrir como el cociente de dos enteros positivos $a$ y $b\neq0$. Es decir $$\sqrt{2}={a\over b}$$ de modo que $a$ y $b$ son primos relativos, es decir $b$ es el mínimo valor positivo entero que puede ir en el denominador, con el cual se puede representar $\sqrt{2}$ como una fracción.

Recuerde que $1<\sqrt{2}<2$ de aquí que $b<a<2b$ y luego $0<a-b<b$.

También observe que

$$\sqrt{2}={a\over b} \ \ \ \ \text{entonces} \ \ \ 2={a^2\over b^2} $$

Es decir \begin{equation*} \begin{aligned} a^{2} &=2 b^{2} \\ \\ a^{2}-a b &=2 b^{2}-a b \\ \\ a(a-b) &=b(2 b-a) \\ \\ \frac{a}{b} &=\frac{2 b-a}{a-b} \end{aligned} \end{equation*}

Lo cual concluye la prueba pues $0<a-b<b$, teniendo así una contradicción. Por lo que $\sqrt{2}$ es irracional.

Referencia: E. A. Maier and Ivan Niven, A Method of Establishing Certain Irrationalities, Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 4 (Sep., 1964), pp. 208-210 (https://www.jstor.org/stable/i326630)

Segunda versión

Esta prueba va igual que la anterior, o sea suponiendo que $\sqrt{2}$ es racional,  por reducción al absurdo. Por lo que podemos expresar como una fracción irreducible, es decir$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$


Donde $a$ y $b$ son números enteros positivos con $b \neq 0$. Suponer que es una fracción irreducible quiere decir que el máximo común divisor entre $a$ y $b$ es 1 , en otras palabras la fracción ya se encuentra simplificada.


\begin{equation*}
\begin{array}{c}
(\sqrt{2})^{2}=\left(\frac{a}{b}\right)^{2} \\ \\
2=\frac{a^{2}}{b^{2}} \\ \\
2 b^{2}=a^{2}
\end{array}
\end{equation*}

Podemos observar que $a^2$ es par y en consecuencia $a$ es par, por lo que podemos tomar $a=2k$ para $k\in\mathbb{N}$. Por lo que $$2b^2=(2k)^2=4k^2$$

$$b^2=2k^2$$

Esto nos dice que $b^2$ es múltiplo de $2$ (par) y por ende también lo es $b$ por lo que podemos tomar $b=2n$ donde $n\in\mathbb{N}$.

Como $a$ y $b$ son ambos múltiplos de dos, tienen un factor en común contradiciendo el hecho de que el máximo común divisor era 1. Por tanto $\sqrt{2}$ es irracional.

Irracionalidad de la raíz de 2
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