Antes de empezar daremos a conocer algunas de las identidades trigonométricas que se tendrán pendiente.
$$\sin^2+\cos^2x=1$$
$$\sin(x+ y)=\sin x\cos y+ \sin y\cos x$$
$$\cos(x+ y)=\cos x\cos y- \sin x\sin y$$
$$\sin(x- y)=\sin x\cos y- \sin y\cos x$$
$$\cos(x- y)=\cos x\cos y+ \sin x\sin y$$
1. Producto de seno y coseno con argumentos distintos 1.1. Integral de la forma $\int\sin nx\cos mxdx$

Considere la integral de la forma $$\int \sin nx\cos mxdx \ \ \ni n\neq m$$

Observe que si $$\sin(n+ m)x=\sin nx\cos mx+ \sin mx\cos nx$$ y $$\sin(n- m)x=\sin nx\cos mx- \sin mx\cos nx$$

sumando ambas expresiones tendremos $$\sin(n+m)x+\sin(n-m)x=2\sin nx\cos mx$$ $$\sin nx\cos mx={1\over2}[\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]$$
de donde se tiene que $$ \int \sin nx\cos mxdx={1\over2}\int [\sin(n+m)x+\sin(n-m)x]dx $$

1.2. Integral de la forma $\int\sin nx\sin mxdx$ ó $\int \cos nx\cos mxdx$

Concidere la integral de la forma $$\int \sin nx\sin mxdx \ \ \ni n\neq m$$
y $$\int\cos nx\cos mxdx \ \ \ni n\neq m$$

Fíjese que
$$ \cos(n+m)x=\cos nx\cos mx-\sin nx\sin mx \ \ \ \mbox{ (1)} $$
$$ \cos(n-m)x=\cos nx\cos mx+\sin nx\sin mx \ \ \ \mbox{ (2)} $$

note que sumando (1) y (2) obtendremos
$$\cos nx\cos mx={1\over2}[\cos(n+m)x+\cos(n-m)x]$$
y si restamos (1) y (2)
$$\sin nx\sin mx={1\over2}[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]$$
de donde se puede observar que
$$\int \sin nx\sin mxdx ={1\over2}\int[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]dx$$
y $$\int\cos nx\cos mxdx={1\over2}\int[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]dx $$


Ejercicios Resueltos


Evalúe $ \ \displaystyle \int \sin 4x\cos 5xdx$

Solución
\begin{eqnarray*} \int \sin 4x\cos 5xdx&=&{1\over2}\int[\sin(4+5)x+\sin(4-5)x]dx\\ \\ &=&{1\over2}\int[\sin9x+\sin(-x)]dx={1\over2}\int[\sin9x-\sin x]dx\\ \\ &=&{1\over2}\left(-{\cos 9x\over9}+\cos x\right)+C \end{eqnarray*}
$$\therefore\int \sin 4x\cos 5xdx={\cos x\over2}-{\cos 9x\over18}+C$$


Evalúe $ \ \int \sin x\sin3xdx$

Solución

$$\int\sin x\sin3xdx={1\over2}\int[\cos(1-3)x-\cos(1+3)x]dx={1\over2}\int[\cos(-2x)-\cos(4x)]dx$$
$$={1\over2}\left({\sin(-2x)\over-2}\right)-{1\over2}\left({\sin4x\over4}\right)+C$$

$$ \int \sin x\sin3xdx={\sin(2x)\over4}-{\sin4x\over8}+C$$


Evalúe $ \ \displaystyle \int \sin10x\sin3xdx $

Solución
\begin{eqnarray*} \int \sin10x\sin3xdx&=&{1\over2}\int[\cos(10-3)x-\cos(10+3)x]dx\\ \\ &=&{1\over2}\int[\cos7x-\cos13x]dx\\ \\ &=&{1\over2}\left({\sin7x\over7}-{\sin13\over13}\right)+C \end{eqnarray*}
$$\therefore \int \sin10x\sin3xdx={\sin7x\over14}-{\sin13\over26}+C$$


Evalúe $ \ \displaystyle \int\cos(-6x)\cos7xdx$

Solución
\begin{eqnarray} \int\cos(-6x)\cos7xdx&=&{1\over2}\int[\cos x+\cos13x]dx\ &=&{1\over2}\left(\sin x +{\cos13x\over13}\right)+C \end{eqnarray}
$$\therefore \int\cos(-6x)\cos7xdx={\sin\over2} x +{\cos13x\over26}+C $$


Si $n$ y $m$ son enteros positivos demuestre que $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mxdx=\left\{0, \ \ \mbox{si} \ n\neq m \atop \pi \ \ \mbox{si} \ n=m \right.$$

Solución

Si $n\neq m\Longrightarrow$
\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mxdx&=&{1\over2}\int_{-\pi}^{\pi}[\cos(n-m)x-\cos(n+m)x]dx\\ \\ &=&{1\over2}\left[{\sin(n-m)x\over n-m}-{\sin(n+m)x\over n+m} \right]{-\pi}^{\pi} \\ \\ && \mbox{recuerde} \ \ \sin k\pi=0 \ \ \mbox{para} \ \ k\in\mathbb{Z}\\ \\ &=& {1\over2}(0)=0 \end{eqnarray*}
$$\therefore\int{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mxdx=0 \ \ \mbox{si $ \ n\neq m$}$$

Si $n=m\Longrightarrow$
\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mxdx&=&\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2nxdx={1\over2}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos2nx)dx\\ \\ &=&\left.{x\over 2}-{\sin 2nx\over2n}\right|_{-\pi}^{\pi}={1\over2}(\pi-(-\pi))={1\over2}(2\pi)=\pi \end{eqnarray*}
$$\therefore \int{-\pi}^{\pi} \sin nx\sin mxdx=\pi \ \ \ \ \mbox{si $n=m$}$$

Integrales para Producto de seno y coseno con argumentos distintos
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