Integral para potencias de seno y coseno

Teoría

Veremos un método para la resolución de integrales cuyo integrando es una potencia de una función seno o coseno ó el producto de estas.

Considere la integral de la forma $$\int \sin^mx\cos^nxdx \ \ \ni m,n\in\mathbb{Z}^+$$

consideremos los siguientes casos:

1. Si $m$ y $n$ son ambos pares $\Longrightarrow $ en $\int\cos^nx\sin^mxdx$ se sustituyen
   $$ \sin^2x={1-\cos 2x\over2} \ \ \mbox{y} \ \ \cos^2x={1+\cos 2x\over 2} $$ para reducir el integrando en potencias menores de $\cos 2x.$

   
   

2. Si $m$ es impar $\Longrightarrow m=2k+1 \ \ni k\in\mathbb{Z}^+\Longrightarrow \sin^2x=1-\cos^2x$
   $$ \sin^mx=\sin^{2k+1}x=\sin^{2k}x\sin x=(\sin^2x)^k\sin x=(1-\cos^2x)^k\sin x $$ se sustituye en la integral y se aplica sustitución basíca usando $u=\cos x$.

   
   

3. Si $m$ es par y $n$ es impar $\Longrightarrow$ en $\int\sin^mx\cos^nxdx$ tomamos a $n=2k+1 \ \ \ni$
   $$ \cos^nx=\cos^{2k+1}x=(\cos^2x)^k\cos x=(1-\sin^2 x)^k\cos x $$se sustituye en la integral y se aplica sustitución basíca usando $u=\sin x$.
   

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Ejercicios Resueltos

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1. Evalúe $\displaystyle \int\cos^5xdx $

   Solución

   Como 5 es un número impar
   $$\Longrightarrow \int \cos^5xdx=\int \cos^4x\cos xdx=\int(1-\sin^2x)^2\cos x dx$$
   si tomamos $u=\sin x\Longrightarrow du=\cos xdx$
   entonces$$ \int \cos^5xdx=\int(1-u^2)^2du=\int(1-2u^2+u^4)du $$
   $$ \int\cos^5xdx=u-{2\over 3}u^3+{1\over 5}u^5+C $$sustituyendo $u=\sin x$
   $$ \therefore \int\cos^5xdx=\sin x-{2\over 3}\sin^3x+{1\over 5}\sin^5x+C $$

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2. Evalúe $\displaystyle \int \sin^3x\cos^2xdx$

   Solución

   Como $m=3$ impar y $n=2$ par $\Longrightarrow$
   \begin{eqnarray*} \int\sin^3x\cos^2xdx&=&\int\sin^2x\sin x\cos^2xdx=\int(1-\cos^2x)\sin x\cos^2 xdx\\ \\ \mbox{tomando}& &u=\cos x\Longrightarrow du=-\sin xdx\\ \\ \int\sin^3x\cos^2xdx&=&-\int(1-u^2)u^2du=-\int(u^2-u^4)du\\ \\ &=&-{u^3\over3}+{u^5\over5}+C={\cos^5x\over5}-{\cos^3x\over3}+C\\ \\ \mbox{sustituyendo}& &u=\cos x\\ \\ \therefore \int\sin^3x\cos^2xdx&=& {\cos^5x\over5}-{\cos^3x\over3}+C \end{eqnarray*}

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3. Evalúe $\displaystyle \int sen^2x\cos^4xdx$

   Solución

   Como ambas potencias son pares tendremos que
   $$ \sin^2x={1-\cos 2x\over2} \ \ \mbox{y} \ \ \cos^2x={1+\cos 2x\over 2} $$
   \begin{eqnarray*} \int \sin^2x\cos^4xdx&=&\int\left(1-\cos2x\over 2\right)\left(1+\cos2x\over2\right)^2dx\\ \\ &=&{1\over 2^3}\int(1-\cos2x)(1+\cos2x)^2dx\\ \\ &=&{1\over8}\int(1-\cos2x)(1+2\cos2x+\cos^22x)dx\\ \\ &=&{1\over8}\int(1+2\cos2x+\cos^22x-\cos2x-2\cos^22x-\cos^32x)dx\\ \\ &=&{1\over8}\int(1+\cos2x-\cos^22x-\cos^32x)dx\\ \\ &=&{1\over8}\left(\int dx+\int\cos2xdx-\int\cos^22xdx-\int\cos^32xdx \right) \end{eqnarray*}

   note que $\displaystyle \cos^22x={1+\cos 4x\over 2}$

   $$\Longrightarrow\int\cos^22xdx=\int\left(1+\cos4x\over2 \right)dx={1\over2}x+{\sin4x\over8}+C$$

   por otro lado

   $$ \int \cos^32xdx=\int \cos^22x\cos 2xdx=\int(1-\sin^2 2x)\cos2xdx$$

   tomando $u= \sin2x\Longrightarrow du=2\cos2x dx$, sustituyendo tendremos que

   $$\int\cos^32xdx={1\over2}\int(1-u^2)du={1\over2}(u-{1\over3}u^3)+C$$

   $$\Longrightarrow\int\cos^32xdx={1\over2}\sin2x-{1\over6}\sin^32x+C$$

   sustituyendo

   \begin{eqnarray*} \int \sin^2x\cos^4xdx &=&{1\over8}\left(\int dx+\int\cos2xdx-\int\cos^22xdx-\int\cos^32xdx \right)\\ \\ &=&{1\over8}\left(x+{\sin2x\over2}-{x^2\over2}-{\sin4x\over8}-{\sin2x\over2}+{\sin^32x\over6} \right)+C\\ \\ &=&{1\over8}\left(x-{x^2\over2}-{\sin4x\over8}+{\sin^32x\over6} \right)+C\\ \\ \therefore \int \sin^2x\cos^4xdx &=&{1\over8}\left(x-{x^2\over2}-{\sin4x\over8}+{\sin^32x\over6} \right)+C \end{eqnarray*}

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4. Evalúe $\displaystyle \int \sin^3xdx$

   Solución

   \begin{eqnarray*} \int \sin^3xdx&=&\int(1-\cos^2x)\sin xdx\\ \\ & &\mbox{tomando $u=\cos x$ se tiene que}\\ \\ &=&-\cos x+{\cos^3x\over3}+C \end{eqnarray*}

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5. Evalúe $\displaystyle \int x\cos^3xdx $

   Solución

   Note que tenemos el producto de una función álgebraica y una trigonométrica, por lo que podemos aplicar el método de integración por partes si $u=x\Longrightarrow du=dx $ y $dv=\cos^3xdx$ por el ejercicio 4 tenemos que $v=\sin x-{1\over3}\sin^3x$
   \begin{eqnarray*} \int x\cos^3xdx&=&x\left(\sin x-{1\over3}\sin^3x \right)-\int\left(\sin x-{1\over3}\sin^3x\right)dx\\ \\ &=&x\left(\sin x-{1\over3}\sin^3x \right)-\int\sin xdx-{1\over3}\int\sin^3xdx\\ \\ &=& \mbox{por el ejercicio 4 tenemos} \int\sin^3xdx=-\cos x+{\cos^3x\over3}+C\\ \\ \mbox{ sustituyendo} & & \\ \\ \therefore\int x\cos^3xdx&=&x\sin x-{x\sin^3x\over3}+\cos x+{\cos x\over3}-{9\cos^3x\over9}+C \end{eqnarray*}

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