Teoría

Se le llama integral de diferencias binomiales a la integral de la forma

$$\int x^m(a+bx^n)^pdx \ \ \hspace{1cm} (1)$$


donde $m,n$ y $p\in\mathbb{Q}$ y los coeficientes $a$ y $b\in\mathbb{R}$.

Si tomamos $x^n=t$, entonces $x=t^{1/n}$ por lo que $dx={1\over n}t^{{1\over n}-1}dt$ de donde se tendrá que
$$\int x^m(a+bx^n)^pdx={1\over n}\int t^{{m+1\over n}-1}(a+bt)^pdt $$


Estas integrales se pueden expresar en términos de funciones elementales en los siguientes casos:


  1. Si $p\in\mathbb{Z}$, entonces la sustitución adecuada $x=t^s$, con $s$ el mínimo común múltiplo de los denominadores de $m$ y $n$, convierte la integral (1) en una integral racional.


  2. Si $\displaystyle {m+1\over n}\in\mathbb{Z}$, entonces, la sustitución $a+bx^n=t^s$, siendo $s$ el denominador de la fracción $p$,
    convierte la integrado (1) en una integral racional.

  3. Si $p+{m+1\over n}\in\mathbb{Z}$, entonces la sustitución $a+bx^{-n}=t^s$, siendo $s$ el denominador de la fracción $p$,
    convierte la integral (1) en una integral racional.

Esto es llamado el Teorema de Chebyshov sobre diferenciales binomiales.


Ejercicios resueltos


  1. Resolver $ \displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}} $

    Solución

    Observe que

    $$\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}=\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx$$

    se puede observar que $m=-1/2, \ n=1/4$ y $p=-10$, como $p$ es un número entero, tenemos el caso (1), por lo que tomando el mínimo común múltiplo entre $m$ y $n$ que es $4$ se tiene que el cambio es
    $$x=t^4\Longrightarrow dx=4t^3dt$$ entonces sustituyendo


    \begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}&=&\int x^{-1/2}\left(1+x^{1/4}\right)^{-10}dx\\ \\ &=&\int t^{-2}(1+t)^{-10}4t^3dt\\ \\ &=&4\int \frac{t\;dt}{(t+1)^{10}}\\ \\ &=&4\int \frac{(t+1)-1}{(t+1)^{10}}dt \\ \\ &=&4\left(\int(t+1)^{-9}dt-\int(t+1)^{-10}dt\right)\\ \\ &=&4\left(-\frac{1}{8(t+1)^8}+\frac{1}{9(t+1)^9}\right)+C\\ \\ &=&\dfrac{4}{(t+1)^8}\left(\frac{1}{9(t+1)}-\frac{1}{8}\right)+C\\ \\ &=&\dfrac{4}{(t+1)^8}\left(\dfrac{8-9(t+1)}{72(t+1)}\right)+C\\ \\ &=&\dfrac{1}{18}\dfrac{-9t-1}{(t+1)^9}+C \end{eqnarray*}


    sustituyendo $t=\sqrt[4]{x}$ se tiene que

    $$\int\frac{dx}{\sqrt{x}\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^{10}}=-\dfrac{9\sqrt[4]{x}+1}{18\left(\sqrt[4]{x}+1\right)^9}+C$$



  2. Resolver $\displaystyle \int\frac{x^3dx}{\left(a^2-x^{2}\right)^{3/2}} $

    Solución

    Fíjese que

    $$\int\frac{x^3dx}{\left(a^2-x^{2}\right)^{3/2}} =\int x^{3}\left(a^2-x^{2}\right)^{-3/2}dx$$

    obsérvese que $m=3, \ n=2$ y $p=-3/2$, como $p$ no es entero y ${m+1\over n}={4\over2}=2$ tenemos el caso (2), como el denominador de $p$ es $2$ entonces la sustitución adecuada es $$a^2-x^2=t^2\Longrightarrow -2xdx=2tdt$$


    por lo que


    \begin{eqnarray*} \int\frac{x^3dx}{\left(a^2-x^{2}\right)^{3/2}} &=&\int x^{2}(a^2-x^2)^{-3/2}xdx\\ \\ &=&\int (a^2-t^2)t^{-3}(-tdt)\\ \\ &=&\int (1-a^2t^{-2})\;dt\\ \\ &=&t+\frac{a^2}{t}+C=\frac{t^2+a^2}{t}+C \end{eqnarray*}

    sustituyendo $t$ se tiene que


    $$\int\frac{x^3dx}{\left(a^2-x^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2a^2-x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}+C$$


  3. Resolver $\displaystyle \int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}$

    Solución

    Tenemos que


    $$\int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}=\int x^{-4}\left(1+x^{2}\right)^{-1/2}dx$$

    obsérvese que $m=-4, \ n=2$ y $p=-1/2$, al ser $p$ racional y ${m+1\over n}+p=-2$, entonces tenemos el caso (3) por lo que la sustitución recomendada es

    $$x^{-2}+1=t^2 \Longrightarrow -x^{-3}dx=tdt$$

    si $x^{-2}+1=t^2$ entonces

    $$ t=\sqrt{1+x^{-2}}=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$$

    entonces tendremos que y luego sustituyendo

    \begin{eqnarray*} \int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}&=& \int x^{-4}\left(x^{2}(x^{-2}+1)\right)^{-1/2}dx\\ \\ &=&\int x^{-5}\left(x^{-2}+1\right)^{-1/2}dx\\ \\ &=&\int x^{-2}\left(x^{-2}+1\right)^{-1/2}(x^{-3}dx)\\ \\ &=&\int (t^2-1)t^{-1}(-tdt)\\ \\ &=&\int (1-t^2)\;dt=t-\frac{t^3}{3}+C=t\left(1-\frac{t^2}{3}\right)+C\\ \\ \end{eqnarray*}
    sustituyendo $t$ tendremos que

    $$ \int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\left(1-\frac{x^2+1}{3x^2}\right)+C=\frac{(2x^2-1)\sqrt{x^2+1}}{3x^3}+C$$

    por tanto

    $$ \int\frac{dx}{x^4\sqrt{1+x^2}}==\frac{(2x^2-1)\sqrt{x^2+1}}{3x^3}+C$$


  4. Evalúe $\displaystyle \int\sqrt{1+x^2}dx $

    Solución

    Fíjese que
    $$\int \sqrt{1+x^2}dx=\int (1+x^2)^{1/2}dx$$

    se puede observar que $m=0, \ n=2$ y $p=1/2$, como $p$ es racional y tenemos que ${m+1\over n}+p\in \mathbb{Z}:{0+1\over2}+{1\over2}=1$, entonces tenemos en el caso 3, por lo que la sustitución adecuada es

    $$x^{-2}+1=t^2\Longrightarrow-\frac{dx}{x^3}=tdt$$

    si $x^{-2}+1=t^2$ entonces $$x=\frac{1}{\sqrt {t^2-1}}$$
    y $$t=\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}$$

    fíjese que si multipicamos y dividimos por $x^4$ la integral original entonces

    $$\int \frac{x^4\sqrt{1+x^2}dx}{x^4}=\int\frac{x^4\sqrt{1+x^2}dx}{x x^3}=\int\frac{x^4\sqrt{1+x^2}}{x}\frac{dx}{x^3}$$

    sustituyendo

    $$\int\frac{x^4\sqrt{1+x^2}}{x}\frac{dx}{x^3}=\int \left(\frac{1}{\sqrt{t^2-1}}\right)^4t(-tdt)=-\int\frac{t^2dt}{(t^2-1)^2}$$

    fíjese que podemos aplicar el método de integración por partes a $-\int\frac{t^2dt}{(t^2-1)^2}$ esto es tomando


    $$u=t\Longrightarrow du=dt$$

    $$dv=\frac{-tdt}{(t^2-1)^2}\Longrightarrow v=\frac{1}{2(t^2-1)}$$

    \begin{eqnarray*} \int\frac{-t^2dt}{(t^2-1)^2} &=&\frac{t}{2(t^2-1)}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{t}{2(t^2-1)}-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| +C\\ \\ &&\mbox{sustituyendo $t$}\\ \\ \int\sqrt{1+x^2}dx&=&\frac{ \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}{2\left(\left( \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\right)^2-1\right)}- \frac{1}{4}\ln\left| \frac{\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}-1}{ \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+1}\right|+C\\ \\ &=&\frac{ \frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}{ 2\left(\frac{1+x^2-x^2}{x^2}\right)}-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}\right|+C \\ \\ &=&\frac{\sqrt{1+x^2}}{2x \left(\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}+x}\cdot\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{\sqrt{1+x^2}-x}\right|+C \\ \\ &=&\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}-\frac{1}{4}\ln|(\sqrt{1+x^2}-x)^2|+C \\ \\ &=&\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}-\frac{1}{2}\ln|(\sqrt{1+x^2}-x)|+C \end{eqnarray*}

    $$\therefore \int\sqrt{1+x^2}dx=\frac{x\sqrt{1+x^2}}{2}-\frac{1}{2}\ln|(\sqrt{1+x^2}-x)|+C$$

Integrales Binomicas
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2 pensamientos en “Integrales Binomicas

  • 12/08/2020 a las 9:47 AM
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    Buenos dias, disculpe tengo una consulta,
    en el primer ejercicio resuelto en la sustitución en la 4ta parte qué definición aplica?

    muchas gracias

    Responder
    • 12/08/2020 a las 9:56 AM
      Enlace permanente

      Buenos días, supongo que te refieres a esto

      \begin{eqnarray*}
      4 \int \frac{t d t}{(t+1)^{10}} &=&4 \int \frac{t+1-1}{(t+1)^{10}} d t\\
      &=&4 \int \frac{(t+1)-1}{(t+1)^{10}} d t\\
      \end{eqnarray*}

      Es sumar un cero (1-1) por lo que $t=t+1-1$

      Espero sea esta la respuesta, quedo atento

      Responder

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