Integral para potencias de tangente y secante

Trataremos aquí la manera de resolver integrales trigonométricas cuyo integrando es el producto de potencias de tangente y secantes. De una manera similar a la que vimos para potencias de seno y coseno aquí

Para esto hay que considerar lo siguiente:

1. Considere la integral de la forma $\int\tan^nxdx \ \ni n\geqslant2$, se realiza la descomposición
   $$ \tan^nx=\tan^{n-2}x\tan^2x $$ luego sustituyendo $\tan^2x=\sec^2x-1$ para obtener
   $$\tan^nx=\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)$$ luego se aplica la sustitución $u=\tan x$.

2. Considere la integral de la forma $\int\sec^nxdx \ni n\geqslant2.$
   
   
   
   1. Si $n$ es par se realiza la descomposición $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2 x=\sec^{n-2}x(\tan^2x+1)$$
      y se procede a aplicar sustitución básica.
      
   2. Si $n$ es impar se descompone de igual manera $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2 x$$ y se aplica el método de
      integración por partes.

   
   
3. Considere la integral de la forma $\int\tan^mx\sec^nxdx$
   
   
   
   1. Si $n$ es par se procede a descomponer $\sec^nx$ como sigue:
      $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2x=(\sec^2x)^{\frac{n-2}{2}}\sec^2x=(\tan^2x+1)^{\frac{n-2}{2}}\sec^2x$$
      luego se aplica la sustitución $u=\tan x$
      

   2. Si $m$ es par se procede a descomponer $\tan^m x$ como sigue:
      $$\tan^m x=\tan^{m-1}x\tan x=(\tan^2x)^{\frac{m-1}{2}}\tan x=(\sec^2x-1)^{\frac{m-1}{2}}\tan x$$
      luego se tiene:
      $$\tan^m x\sec^nx=(\sec^2x-1)^{\frac{m-1}{2}}\sec^{n-1}x \tan x \sec x$$
      y se procede aplicar la sustitución $u=\sec x$
      

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Ejercicios Resueltos

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1. Evalúe $\displaystyle \int\tan^4xdx $

   Solución

   \begin{eqnarray*} \int \tan^4xdx&=&\int\tan^2x\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)\tan^2xdx\\ \\ &=&\int\sec^2x\tan^2xdx-\int\tan^2xdx\\ \\ \mbox{note que} & & \int\tan^2x\sec^2xdx =\int u^2du={u^3\over3}+C \\ \\ & & u=\tan x \Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int \tan^4xdx&=&\int\sec^2x\tan^2xdx-\int(\sec^2x-1)dx\\ \\ &=&{\tan^3x\over3}-\tan x+x+C \end{eqnarray*}
   $$\therefore \int \tan^4xdx={\tan^3x\over3}-\tan x+x+C$$

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2. Evalúe $\displaystyle\int \tan^3xdx$

   Solución
   \begin{eqnarray*} \int \tan^3xdx&=&\int\tan x\tan^2xdx=\int\tan x(\sec^2x-1)dx\\ \\ &=&\int\tan x\sec^2xdx-\int\tan xdx \\ \\ \mbox{note que}&& \int\tan x\sec^2xdx =\int udu={u^2\over2}+C={\tan^2x\over2}+C\\ \\ && u=\tan x\Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int \tan^3xdx&=& \int\tan x\sec^2xdx-\int\tan xdx={\tan^2x\over2}-\ln|\sec x|+C \\ \\ &=&{\tan^2x\over2}+\ln|\cos x|+C \end{eqnarray*}
   $$\therefore \int \tan^3xdx={\tan^2x\over2}+\ln|\cos x|+C$$

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3. Evalúe $\displaystyle \int \sec^4xdx$

   Solución
   \begin{eqnarray*} \int\sec^4xdx&=&\int\sec^2x\sec^2xdx=\int(\tan^2x+1)\sec^2xdx\\ \\ \mbox{tomando} && u=\tan x\Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int\sec^4xdx&=&\int(\tan^2x+1)\sec^2xdx=\int(u^2+1)du\\ \\ &=&{u^3\over3}+u+C={\tan^3x\over3}+\tan x+C \end{eqnarray*}
   $$ \int\sec^4xdx= {\tan^3x\over3}+\tan x+C $$

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4. Evalúe $\displaystyle \int \tan^3x\sec^3xdx$

   Solución
   \begin{eqnarray*} \int \tan^3x\sec^3xdx&=&\int\tan^2x\sec^2x\sec x\tan xdx\\ \\ &=&\int (\sec^2x-1)\sec^2x\sec x\tan xdx \\ \\ \mbox{tomando} && u=\sec x\Longrightarrow du=\sec x\tan xdx \\ \\ \int \tan^3x\sec^3xdx&=&\int (\sec^2x-1)\sec^2x\sec x\tan xdx \\ \\ &=&\int(u^2-1)u^2du=\int(u^4-u^2)du\\ \\ &=&{u^5\over5}-{u^3\over3}+C={\sec^5x\over5}-{\sec^3x\over3}+C \end{eqnarray*}
   $$\therefore\int \tan^3x\sec^3xdx={\sec^5x\over5}-{\sec^3x\over3}+C$$

5. Evalúe $\displaystyle \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx$

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   Solución
   \begin{eqnarray*} \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx&=&\int\tan^3x\sec^{-1/2}xdx=\int\tan^2x\tan x\sec^{-3/2}x\sec xdx\\ \\ &=&\int(\sec^2x-1)\sec^{-3/2}x\sec x\tan xdx\\ \\ \mbox{tomando } && u=\sec x\Longrightarrow du=\sec x\tan xdx \\ \\ &=&\int(u^2-1)u^{-3/2}du=\int(u^{1/2}-u^{-3/2})du\\ \\ &=&{2\over3}u^{3/2}+{2}u^{-1/2}+C={2\over3}\sec^{3/2}x+{2}\sec^{-1/2}x+C\\ \\ \therefore \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx&=&{2\over3}\sec^{3/2}x+{2\over\sec^{1/2}x}+C \end{eqnarray*}