Trataremos aquí la manera de resolver integrales trigonométricas cuyo integrando es el producto de potencias de tangente y secantes. De una manera similar a la que vimos para potencias de seno y coseno aquí
Para esto hay que considerar lo siguiente:
- Considere la integral de la forma $\int\tan^nxdx \ \ni n\geqslant2$, se realiza la descomposición
$$ \tan^nx=\tan^{n-2}x\tan^2x $$ luego sustituyendo $\tan^2x=\sec^2x-1$ para obtener
$$\tan^nx=\tan^{n-2}x(\sec^2x-1)$$ luego se aplica la sustitución $u=\tan x$. - Considere la integral de la forma $\int\sec^nxdx \ni n\geqslant2.$
- Si $n$ es par se realiza la descomposición $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2 x=\sec^{n-2}x(\tan^2x+1)$$
y se procede a aplicar sustitución básica.
- Si $n$ es impar se descompone de igual manera $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2 x$$ y se aplica el método de
integración por partes.
- Si $n$ es par se realiza la descomposición $$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2 x=\sec^{n-2}x(\tan^2x+1)$$
- Considere la integral de la forma $\int\tan^mx\sec^nxdx$
- Si $n$ es par se procede a descomponer $\sec^nx$ como sigue:
$$\sec^nx=\sec^{n-2}x\sec^2x=(\sec^2x)^{\frac{n-2}{2}}\sec^2x=(\tan^2x+1)^{\frac{n-2}{2}}\sec^2x$$
luego se aplica la sustitución $u=\tan x$
- Si $m$ es par se procede a descomponer $\tan^m x$ como sigue:
$$\tan^m x=\tan^{m-1}x\tan x=(\tan^2x)^{\frac{m-1}{2}}\tan x=(\sec^2x-1)^{\frac{m-1}{2}}\tan x$$
luego se tiene:
$$\tan^m x\sec^nx=(\sec^2x-1)^{\frac{m-1}{2}}\sec^{n-1}x \tan x \sec x$$
y se procede aplicar la sustitución $u=\sec x$
- Si $n$ es par se procede a descomponer $\sec^nx$ como sigue:
Ejercicios Resueltos
- Evalúe $\displaystyle \int\tan^4xdx $
Solución
\begin{eqnarray*} \int \tan^4xdx&=&\int\tan^2x\tan^2xdx=\int(\sec^2x-1)\tan^2xdx\\ \\ &=&\int\sec^2x\tan^2xdx-\int\tan^2xdx\\ \\ \mbox{note que} & & \int\tan^2x\sec^2xdx =\int u^2du={u^3\over3}+C \\ \\ & & u=\tan x \Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int \tan^4xdx&=&\int\sec^2x\tan^2xdx-\int(\sec^2x-1)dx\\ \\ &=&{\tan^3x\over3}-\tan x+x+C \end{eqnarray*}
$$\therefore \int \tan^4xdx={\tan^3x\over3}-\tan x+x+C$$
- Evalúe $\displaystyle\int \tan^3xdx$
Solución
\begin{eqnarray*} \int \tan^3xdx&=&\int\tan x\tan^2xdx=\int\tan x(\sec^2x-1)dx\\ \\ &=&\int\tan x\sec^2xdx-\int\tan xdx \\ \\ \mbox{note que}&& \int\tan x\sec^2xdx =\int udu={u^2\over2}+C={\tan^2x\over2}+C\\ \\ && u=\tan x\Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int \tan^3xdx&=& \int\tan x\sec^2xdx-\int\tan xdx={\tan^2x\over2}-\ln|\sec x|+C \\ \\ &=&{\tan^2x\over2}+\ln|\cos x|+C \end{eqnarray*}
$$\therefore \int \tan^3xdx={\tan^2x\over2}+\ln|\cos x|+C$$
- Evalúe $\displaystyle \int \sec^4xdx$
Solución
\begin{eqnarray*} \int\sec^4xdx&=&\int\sec^2x\sec^2xdx=\int(\tan^2x+1)\sec^2xdx\\ \\ \mbox{tomando} && u=\tan x\Longrightarrow du=\sec^2xdx\\ \\ \int\sec^4xdx&=&\int(\tan^2x+1)\sec^2xdx=\int(u^2+1)du\\ \\ &=&{u^3\over3}+u+C={\tan^3x\over3}+\tan x+C \end{eqnarray*}
$$ \int\sec^4xdx= {\tan^3x\over3}+\tan x+C $$
- Evalúe $\displaystyle \int \tan^3x\sec^3xdx$
Solución
\begin{eqnarray*} \int \tan^3x\sec^3xdx&=&\int\tan^2x\sec^2x\sec x\tan xdx\\ \\ &=&\int (\sec^2x-1)\sec^2x\sec x\tan xdx \\ \\ \mbox{tomando} && u=\sec x\Longrightarrow du=\sec x\tan xdx \\ \\ \int \tan^3x\sec^3xdx&=&\int (\sec^2x-1)\sec^2x\sec x\tan xdx \\ \\ &=&\int(u^2-1)u^2du=\int(u^4-u^2)du\\ \\ &=&{u^5\over5}-{u^3\over3}+C={\sec^5x\over5}-{\sec^3x\over3}+C \end{eqnarray*}
$$\therefore\int \tan^3x\sec^3xdx={\sec^5x\over5}-{\sec^3x\over3}+C$$ - Evalúe $\displaystyle \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx$
Solución
\begin{eqnarray*} \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx&=&\int\tan^3x\sec^{-1/2}xdx=\int\tan^2x\tan x\sec^{-3/2}x\sec xdx\\ \\ &=&\int(\sec^2x-1)\sec^{-3/2}x\sec x\tan xdx\\ \\ \mbox{tomando } && u=\sec x\Longrightarrow du=\sec x\tan xdx \\ \\ &=&\int(u^2-1)u^{-3/2}du=\int(u^{1/2}-u^{-3/2})du\\ \\ &=&{2\over3}u^{3/2}+{2}u^{-1/2}+C={2\over3}\sec^{3/2}x+{2}\sec^{-1/2}x+C\\ \\ \therefore \int {\tan^3x\over\sqrt{\sec x}}dx&=&{2\over3}\sec^{3/2}x+{2\over\sec^{1/2}x}+C \end{eqnarray*}