Uno de los conceptos fundamentales del cálculo y el análisis es el concepto de integral. La integral es la generalización de la suma de infinitos sumando infinitesimalmente pequeños, continua.

Dada una función $ f (x) $ que es continua en el intervalo $[a, b]$ dividimos el intervalo en subintervalos de $ n $ de igual ancho, $\Delta x$, y de cada subintervalo se escoge un punto , $x_i^*$. Entonces la integral definida de $ f (x) $ de $ a $ a $ b $ es $$ \int_{a}^{b} f (x) \, dx = \lim \limits_{n \to \infty} \sum \limits_{i = 1}^n {f \left ({x_i^*} \right) \Delta x} $$

El número “$ a $” que está en la parte inferior del signo integral se llama límite inferior de la integral y el número “$ b $” en la parte superior del signo integral se llama límite superior de la integral. Además, a pesar del hecho de que $ a $ y $ b $ se dieron como intervalo, el límite inferior no necesariamente tiene que ser menor que el límite superior. Colectivamente, a menudo llamamos $ a $ y $ b $ el intervalo de integración.



Propiedades de la integral definida



Podemos intercambiar los límites de cualquier integral definida, todo lo que necesitamos hacer es agregar un signo menos en la integral cuando lo hagamos.

$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} =- \int_{{\,b}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}}$$

De la definición de la integral definida que tenemos, $$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\Delta x = \frac{{b – a}}{n}$$

de donde tenemos

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\frac{{b – a}}{n}} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\frac{{ – \left( {a – b} \right)}}{n}} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( { – \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\frac{{a – b}}{n}} } \right)\\ \\ & = – \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\frac{{a – b}}{n}} =-\int_{{\,b}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}}\end{align*}



Si los límites superior e inferior son iguales, entonces la integral es cero.

$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}} = 0$$

Partiendo de la definición \begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,a}}{{f\left( x \right)\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\Delta x = \frac{{a – a}}{n} = 0\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\left( 0 \right)} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 0\\ \\ & = 0\end{align*}



Podemos factorizar una constante.

$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{cf\left( x \right)\,dx}} = c\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \ \ \ \ \ c\in\mathbb{R} $$

De igual modo, a partir de la definición podemos verificar que

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{c\,f\left( x \right)\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {c\,f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ \\ & = c\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ \\ & = c\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\end{align*}



Podemos dividir integrales definidas en una suma o diferencia.

$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \pm \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}$$

Lo veremos de manera separada aunque se puede ver junto sin ningún inconveniente.

Para la suma

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) + g\left( x \right)\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {f\left( {x_i^*} \right) + \,g\left( {x_i^*} \right)} \right)\Delta x} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} + \sum\limits_{i = 1}^n {g\left( {x_i^*} \right)\Delta x} } \right)\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {g\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}\end{align*}

Y para la diferencia tenemos

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) – g\left( x \right)\,dx}} & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) + \left( { – g\left( x \right)} \right)\,dx}}\\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left( { – g\left( x \right)} \right)\,dx}}\\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} – \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}\end{align*}



$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,c}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}},$$ donde $ c $ es cualquier número. Esta propiedad es más importante de lo que podríamos darnos cuenta al principio. Uno de los principales usos de esta propiedad es decirnos cómo podemos integrar una función en los intervalos adyacentes, $ [a, c] $ y $ [c, b] $. Sin embargo, tenga en cuenta que $ c $ no necesita estar entre $ a $ y $ b $.



$$\displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,dt}}.$$ El objetivo de esta propiedad es notar que mientras la función y los límites sean los mismos, la variable de integración que usemos en la integral definida no afectará la respuesta.



Podemos verificar fácilmente que la integral para una función constante, $f(x)=c\in\mathbb{R}$, esta dada por

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{c\,dx}} = c\left( {b – a} \right)$$

Solo debemos aplicar la definición como lo hemos hecho

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{c\,dx}} & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\Delta x = \frac{{b – a}}{n}\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n c } \right)\frac{{b – a}}{n}\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {cn} \right)\frac{{b – a}}{n}\\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } c\left( {b – a} \right)\\ \\ & = c\left( {b – a} \right)\end{align*}



Si $f\left( x \right) \ge 0$ para $x\in[a,b]$ entonces $\displaystyle \int_a^bf(x)dx\ge0$

Para ver esto, partamos de la definición

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\Delta x = \frac{{b-a}}{n}$$

ahora, tenemos que $f(x)\ge$ y también $\Delta x>0$ de donde podemos concluir que

$$\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \ge 0$$

tomando límite de ambos lados de la desigualdad, pues esta se mantiene, puede ver aquí, es decir

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \ge \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 0 = 0$$

o lo que es lo mismo

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \ge 0$$

qué es lo que queríamos verificar.



Si $f\left( x \right) \ge g\left( x \right)$ para $x\in[a,b]$ entonces $\displaystyle \int_a^bf(x)dx\ge\int_a^bg(x)dx.$

Como $f(x)\ge g(x)$ entonces se cumple que $f(x)-g(x)\ge0$ en $a\le x\le b$ y por la proposición anterior podemos afirmar que

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{(f\left( x \right) – g\left( x \right))\,dx}} \ge 0$$

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right) – \int_{{\,a}}^{{\,b}}g\left( x \right)\,dx}} \ge 0$$

\begin{align*}\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \ge \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{g\left( x \right)\,dx}}\end{align*}



La siguiente desigualdad se cumple

$$\left| {\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}} \right| \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)\,} \right|dx}}$$

Tenemos que las funciones reales cumplen la siguiente propiedad de valor absoluto

$$- \left| {f\left( x \right)} \right| \le f\left( x \right) \le \left| {f\left( x \right)} \right|$$ integrando la desigualdad

$$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{ – \left| {f\left( x \right)} \right|\,dx}} \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx}}$$ la cual se mantiene y

$$- \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx}} \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx}}$$

aplicando que $|x|\le y$ ssi $-y\le x\le y$ obtenemos

$$\left| {\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}} \right| \le \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{\left| {f\left( x \right)\,} \right|dx}}$$



Teorema fundamental del cálculo

La primera parte del teorema fundamental del cálculo se probo aquí. Por lo que solo probaremos la segunda parte.

Supongamos que $f(x)$ es una función continua en $[a,b]$ y que $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$. Entonces $$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)dx}} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)$$

Primero tomemos $g(x)=\int_a^xf(t)dt$ y por la primera parte del teorema fundamental del cálculo (aquí) tenemos que $g'(x)=f(x)$, donde $g(x)$ es una antiderivada de $f(x)$ en $[a,b]$. Supongamos ahora que $F(x)$ es una antiderivada cualquiera de $f(x)$ en $[a,b]$, lo que significa que $$g'(x)=F'(x)$$ luego sabemos que $g(x)$ y $F(x)$ difieren en una constante en $(a, b)$, es decir $$F(x)=g(x)+C$$

Como $g (x)$ y $F(x)$ son continuas en $[a, b]$, podemos tomar el límite de esto: $x\to a^+$ y $x\to b^-$ podemos ver que esto es lo mismo que $x = a$ y $x = b$. Entonces, para $a \le x \le b$ y usando la definición de $g(x)$ y sabiendo que $F(x)=g(x)+C$ tenemos

\begin{align*}F\left( b \right) – F\left( a \right) & = \left( {g\left( b \right) + C} \right) – \left( {g\left( a \right) + C} \right)\\ \\ & = g\left( b \right) – g\left( a \right)\\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,\,dt}}\\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,\,dt}} + 0\\ \\ & = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,\,dx}}\end{align*}

Por lo que $$\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)dx}} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)$$



Una notación alternativa para la parte derivada de esto es, primera parte, es $$\frac{d}{{dx}}\int_{{\,a}}^{{\,x}}{{f\left( t \right)\,dt}} = f\left( x \right)$$

Usando la regla de la cadena podemos derivar algunas fórmulas generales para algunos problemas. O sea

$$\frac{d}{{dx}}\int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = u’\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)} \right)$$ es una generalidad de la regla de la cadena para este tipo de problemas. De manera analoga y en forma de parodia tenemos

$$\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,dt}} ==-\frac{d}{{dx}}\int_{{\,b}}^{{\,v\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = -v’\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right)$$

Y como ha de imaginarse podemos considerar este tipo de problema para ambos limites de la integral, es decir

$$\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = \int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}$$

Podemos separarla en dos integrales siempre que $f(a)$ exista, de donde se obtiene lo siguiente

$$\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} & = \frac{d}{{dx}}\left( {\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}} \right)\\ \\ & = – v’\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right) + u’\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)} \right)\end{align*}$$



Ejercicios Resueltos



Resolver la integral por definición $ \displaystyle\int\limits_{-1}^4 {\left( {16 – {x^2}} \right)dx}.$ Usar $n=5$.

Solución

Usando $\Delta x=(b-a)/n$ obtenemos $$\Delta x={4-(-1)\over 5}={5\over 5}=1$$ $${x_i^*} = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$$

Primero obtengamos la suma $$ \sum\limits_{i = 1}^5 {f\left( {{x_i^*}} \right)\Delta x} ,$$

por lo que

$$f\left( {{x _1^*}} \right) = f\left( 0 \right) = 16 – {0^2} = 16$$

$$f(x _2^*)=f(1)=16−1^2=15$$

$$f(x _3^*)=f(2)=16−2^2=12$$

$$f(x _4^*)=f(3)=16−3^2=7$$

$$f(x _5^*)=f(4)=16−4^2=0$$

de donde

\begin{align*}{ \int\limits_{ – 1}^4 {\left( {16 – {x^2}} \right)dx} }&={ \sum\limits_{i = 1}^5 {f\left( {{x_i^*}} \right)\Delta x} }\\ \\ &={ \Delta x\sum\limits_{i = 1}^5 {f\left( {{x _i^*}} \right)} }={ 1 \cdot \left( {16 + 15 + 12 + 7 + 0} \right) }={ 50.}\end{align*}


Evalúe $\int_{-2}^{3}(x+3) d x$

Solución

Lo primero es dividir [-2,3] en $n$ subintervalos iguales, cada uno de longitud $\Delta x=5 / n .$ En cada subintervalo $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ utilícese ${x^*}_{i}=x_{i}$ como el punto muestra. Entonces

$$\begin{array}{l}
x_{0}=-2 \\
x_{1}=-2+\Delta x=-2+\frac{5}{n} \\
x_{2}=-2+2 \Delta x=-2+2\left(\frac{5}{n}\right) \\
\vdots \\
x_{i}=-2+i \Delta x=-2+i\left(\frac{5}{n}\right) \\
\vdots \\
x_{n}=-2+n \Delta x=-2+n\left(\frac{5}{n}\right)=3
\end{array}$$

Por lo tanto, $f\left(x_{i}\right)=x_{i}+3=1+i(5 / n)$, de modo que

\begin{equation}
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^{n} f\left({x^*}_{i}\right) \Delta x_{i} &=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \Delta x \\
&=\sum_{i=1}^{n}\left[1+i\left(\frac{5}{n}\right)\right] \frac{5}{n} \\
&=\frac{5}{n} \sum_{i=1}^{n} 1+\frac{25}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i \\
&=\frac{5}{n}(n)+\frac{25}{n^{2}}\left[\frac{n(n+1)}{2}\right] \\
&=5+\frac{25}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)
\end{aligned}
\end{equation}

Como $P$ es una partición regular, $|P| \rightarrow 0$ es equivalente a $n \rightarrow \infty .$ Concluimos que
$$
\begin{aligned}
\int_{-2}^{3}(x+3) d x &=\lim_{||P|| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left({x^*}_{i}\right) \Delta x_{i} \\
&=\lim_{n \rightarrow \infty}\left[5+\frac{25}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right] \
&=\frac{35}{2}
\end{aligned}
$$


Use la definición para calcular $$\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{(10{x^2} + 10)\,dx}}$$

Lo primero, no podemos usar la definición a menos que determinemos qué puntos en cada intervalo que podamos usar para los $ x_i^* $. Para esto utilizaremos los puntos finales de cada intervalo.

Los $n$ subintervalos vienen dados por $$\Delta x = \frac{{2 – 0}}{n} = \frac{2}{n}$$ Entonces los subintervalos son

$$\left[ {0,\frac{2}{n}} \right]\,,\,\,\,\left[ {\frac{2}{n},\frac{4}{n}} \right],\,\,\,\left[ {\frac{4}{n},\frac{6}{n}} \right],\,\, \ldots \,\,,\,\,\left[ {\frac{{2\left( {i – 1} \right)}}{n},\frac{{2i}}{n}} \right],\,\, \ldots \,\,,\,\,\left[ {\frac{{2\left( {n – 1} \right)}}{n},2} \right]$$

(creo que esto puede aclarar un poco el ejercicio anterior). De esto anterior podemos observar que los $x_i^*$ están dados por $$x_i^* = \frac{{2i}}{n}$$

y ahora podemos proceder a calcular la suma

\begin{align*}\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} & = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {\frac{{2i}}{n}} \right)\left( {\frac{2}{n}} \right)} \\ & = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{10\left( {\frac{{2i}}{n}} \right)}^2} + 10} \right)\left( {\frac{2}{n}} \right)} \\ & = \sum\limits_{i = 1}^n 10{\left( {{{\left( {\frac{{2i}}{n}} \right)}^2} + 1} \right)\left( {\frac{2}{n}} \right)} \\ & = 10\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{8{i^2}}}{{{n^3}}} + \frac{2}{n}} \right)} \\ \\ \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} & = 10\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{8{i^2}}}{{{n^3}}}} +10 \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{2}{n}} \\ & = \frac{80}{{{n^3}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}} + \frac{10}{n}\sum\limits_{i = 1}^n 2 \\ & = \frac{80}{{{n^3}}}\left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}} \right) + \frac{10}{n}\left( {2n} \right)\\ & = \frac{{40\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{3{n^2}}} + 20\\ & =\frac{140n^2+120n+40}{3n^2}\end{align*}

Por la definición, podemos calcular la integral

\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,2}}({{{10x^2} + 10)\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \\ \\ & = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{140n^2+120n+40}{3n^2}\\ \\ &={140\over3}\end{align*}



Calcular $\displaystyle \displaystyle \int_{{\,2}}^{{\,0}}{{({10x^2} + 10)\,dx}}$

Observe que

$$\begin{align*}\int_{{\,2}}^{{\,0}}{{({10x^2} + 10)\,dx}} & =-\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{({10x^2} + 10)\,dx}}\\ \\ & = – \frac{{140}}{3}\end{align*}$$



Calcular $\displaystyle {1\over 10}\int_{{\,0}}^{{\,2}}{{({10x^2} + 10)\,dx}}$

Tenemos que

\begin{align*}{1\over10}\int_{{\,0}}^{{\,2}}({{{10x^2} + 10)\,dx}} &={1\over 10}{140\over3}={14\over 3}\end{align*}



Calcule $\displaystyle \int_{{25}}^{{\,25}}{{\frac{{{x^3} – x^4\tan \left( x \right)-2}}{{{x^7} + 1}}\,dx}}$

Recuerde que $\int_a^af(x)dx=0$ por lo que

$$\displaystyle \int_{{25}}^{{\,25}}{{\frac{{{x^3} – x^4\tan \left( x \right)-2}}{{{x^7} + 1}}\,dx}}=0$$



Sabiendo que $\displaystyle \int_3^{10}f(x)=13, \ \ \int_{-2}^3g(x)=9$. Determine $\displaystyle6\int_3^{10}f(x)dx-7\int_{-2}^3g(x)dx$

Esto es $$6\int_3^{10}f(x)dx-7\int_{-2}^3g(x)dx=6(13)-7(9)=78-63=15$$



Sabiendo que $\displaystyle \int_3^7f(x)dx=2, \ \ \int_{7}^3g(x)dx=7$. Determine $\displaystyle \int_3^7(3f(x)-8g(x))dx $

Evidentemente solo hay que aplicar las propiedades necesarias, es decir

\begin{align*}\int_3^7(3f(x)-8g(x))dx&=\int_3^73f(x)dx-\int_3^78g(x)dx\\ \\ &=3\int_3^7f(x)dx-8\int_3^7g(x)dx\\ \\ &=3\int_3^7f(x)dx-(-8)\int_7^3g(x)dx \\ \\ &=3\int_3^7f(x)dx+8\int_7^3g(x)dx\\ \\ &= 3(2)+8(7)=70\end{align*}



Sabiendo que $\displaystyle \int_{3}^{-7}f(x)dx=5, \ \ \int_{10}^{-7}f(x)dx=-2$ y $\displaystyle \int_{10}^{-4}f(x)dx=1$, determine el valor de $\displaystyle \int_{-4}^{3}f(x)dx$

Para este caso podemos observar lo siguiente

\begin{align*}\int_{-4}^{3}f(x)dx&=\int_{-4}^{10}f(x)dx+\int_{10}^3f(x)dx\\ \\ &=\int_{-4}^{10}f(x)dx+\int_{10}^{-7}f(x)dx+\int_{-7}^3f(x)dx\end{align*}

Ahora solo hay que hacer los intercambios de intervalos necesarios para obtener lo deseado

\begin{align*}\int_{-4}^{3}f(x)dx&=\int_{-4}^{10}f(x)dx+\int_{10}^3f(x)dx\\ \\ &=-\int_{10}^{-4}f(x)dx+\int_{10}^{-7}f(x)dx-\int_{3}^{-7}f(x)dx\\ \\ &=-1-2-5=-8\end{align*}

Integral definida (segunda parte del teorema fundamental)
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