Considere un integrando que contenga una expresión de la forma
$$\sqrt{a^2+x^2}, \ \ \sqrt{a^2-x^2} \ \ \mbox{ó} \ \ \sqrt{x^2-a^2} $$
para $a>0$, entonces, se recomienda usar una sustitución trigonométrica que transforme la integral original en una más fácil de resolver.

La sustituciones adecuadas son las siguientes:

Si contiene $\sqrt{a^2+x^2}\Longrightarrow$ se tiene $x={a}\tan\theta \; \; \; \;- \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}$, es decir $${x\over a}=\tan\theta$$

Si contiene $\sqrt{a^2-x^2}\Longrightarrow$ se tiene $x={a}\sin\theta \; \; \; \; – \frac{\pi }{2} \le \theta \le \frac{\pi }{2}$, es decir

$${x\over a}=\sin\theta$$
Si contiene $\sqrt{x^2-a^2}\Longrightarrow$ se tiene $x={a}\sec\theta\; \; \; 0 \le \theta < \frac{\pi }{2},\,\,\frac{\pi }{2} < \theta \le \pi$, es decir
$${x\over a}=\sec\theta$$

Atendiendo a estas relaciones podemos observar lo siguiente:

Si $x={a}\tan\theta \Longrightarrow \tan\theta=\displaystyle{x\over a}\Longrightarrow$


Si $x={a}\sin\theta \Longrightarrow \sin\theta=\displaystyle{x\over a}\Longrightarrow$

si $x={a}\sec\theta \Longrightarrow \sec\theta=\displaystyle{x\over a}\Longrightarrow$




Ejercicios Resueltos


  1. Evalúe $\displaystyle \int {dx\over x^2\sqrt{4-x^2}}$

    Solución

    Sea $x=a\sin \theta=2\sin \theta$

    entonces si $ x=2\sin\theta\Longrightarrow dx=2\cos\theta d\theta$ fíjese que sustituyendo $x=2\sin\theta\Longrightarrow$


    \begin{eqnarray*} \sqrt{4-x^2}&=&\sqrt{4-4\sin^2\theta}=\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}\\ \\ &=&\sqrt{4}\sqrt{1-\sin^2\theta}=2\sqrt{1-\sin^2\theta}=2\sqrt{\cos^2\theta}\\ \\ \therefore\sqrt{4-x^2}&=&2\cos\theta \ \ \ \mbox{y} \ \ \ \ dx=2\cos\theta d\theta \\ \\ \Longrightarrow \int {dx\over x^2\sqrt{4-x^2}}&=&\int{2\cos\theta d\theta\over 4\sin^2\theta(2)\cos\theta}={1\over4}\int{d\theta\over\sin^2\theta}\\ \\ &=&{1\over4}\int\csc^2\theta d\theta=-{1\over4}\cot\theta+C\\ \\ &&\mbox{sustituyendo $\cot\theta={\mbox{cateto ad.}\over \mbox{cateto op.}}$} \\ \\ \int {dx\over x^2\sqrt{4-x^2}}&=&-{1\over4}{\sqrt{4-x^2}\over x}+C \end{eqnarray*}



  2. Evalúe $\displaystyle \int {dx\over \sqrt{4+x^2}} $

    Solución

    Tenemos que $a=2$, entonces nuestra sustitución adecuada es
    $$ x=2\tan\theta\Longrightarrow dx=2\sec^2\theta d\theta $$

    \begin{eqnarray*} \sqrt{4+x^2}&=&\sqrt{4+4\tan^2\theta}= 2\sqrt{1+\tan^2\theta}\\ \\ &=&2\sqrt{\sec^2\theta}=2\sec\theta\\ \\ &&\mbox{de donde tenemos que}\\ \\ \int {dx\over\sqrt{4+x^2}}&=&\int {2\sec^2\theta d\theta\over2\sec\theta}=\int\sec\theta d\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C\\ \\ &&\mbox{sustituyendo según el triangulo}\\ \\ \int{dx\over\sqrt{4+x^2}}&=&\ln\left|{\sqrt{4+x^2}\over2}+{x\over2}\right|+C \end{eqnarray*}



  3. Evalúe $\displaystyle \int {\sqrt{x^2-49}\over x}dx$

    Solución

    Sea $x={7}\sec\theta \Longrightarrow \sec\theta=\displaystyle{x\over 7}$ entonces $ dx=7\sec\theta\tan\theta d\theta$

    \begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-49}&=&\sqrt{49\sec^2\theta-49}=\sqrt{49}\sqrt{\sec^2\theta-1}=7\tan\theta\\ \\ &&\mbox{sustituyendo en la integral}\\ \\ \int {\sqrt{x^2-49}\over x}dx&=& \int{7\tan\theta(7\sec\theta\tan\theta)\over7\sec\theta}d\theta=7\int \tan^2\theta d\theta\\ \\ &=&7\int(\sec^2\theta-1)d\theta=7( \tan\theta-\theta)+C\\ \\ &=&7\left({\sqrt{x^2-49}\over 7}-\sec^{-1}\left(x\over7\right) \right)+C\\ \\ &=&{\sqrt{x^2-49}}-7\sec^{-1}\left(x\over7\right) +C\\ \\ \therefore \int {\sqrt{x^2-49}\over x}dx&=&{\sqrt{x^2-49}}-7\sec^{-1}\left(x\over7\right) +C \end{eqnarray*}



  4. Evalúe $\displaystyle \int {\sqrt{x^2-25}\over x^3}dx$

    Solución

    Sea $x={5}\sec\theta \Longrightarrow \sec\theta=\displaystyle{x\over 5}$ entonces $dx=5\sec\theta\tan\theta d\theta$

    entonces
    \begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-25}&=&\sqrt{25\sec^2\theta-25}=5\sqrt{\sec^2\theta-1}=5\tan\theta \\ \\ \int {\sqrt{x^2-25}\over x^3}dx&=&\int{ 5\tan\theta(5\sec\theta\tan\theta)\over125\sec^3\theta }d\theta={5^2\over5^3}\int{ \tan^2\theta\over\sec^2\theta}d\theta \\ \\ &=&{1\over5}\int\frac{\displaystyle{\sin^2\theta\over\cos^2\theta}}{\displaystyle{1\over\cos^2\theta}}d\theta={1\over5}\int\sin^2\theta d\theta \\ \\ &=&{1\over5}\int{1-\cos2\theta\over2}d\theta={1\over10}\int(1-\cos2\theta)d\theta \\ \\ &=&{1\over10}\left(\theta-\displaystyle{\sin2\theta\over2}\right)+C\\ \\ &&\mbox{usando $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$}\\ \\ &=&{1\over10}(\theta-\sin\theta\cos\theta)+C \\ \\ &&\mbox{sustituyendo según el triangulo}\\ \\ \int {\sqrt{x^2-25}\over x^3}dx&=&{1\over10}\left(\sec^{-1}\left(x\over5\right)-\frac{\sqrt{x^2-25}}{x}\left(\frac{5}{x}\right) \right)+C \end{eqnarray*}




  5. Evalúe $\displaystyle \int {dx\over x\sqrt{4+x^2}}$

    Solución

    Sea $x=2\tan\theta$ entonces $dx=2\sec^2\theta\t$ de donde tendremos,
    \begin{eqnarray*} \int {dx\over x\sqrt{4+x^2}}&=&{1\over2}\int{\sec^2\theta\t\over\tan\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}}\\ \\ &=&{1\over2}\int{\sec\theta\over\tan\theta}\t=\int\csc\theta\t\\ \\ &=&-{1\over2}\ln|\csc\theta+\cot\theta|+C \end{eqnarray*}

    sustituyendo según el triangulo

    $$ \int {dx\over x\sqrt{4+x^2}} =-{1\over2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{x}+\frac{2}{x}\right|+C$$




  6. Evalúe $\displaystyle \int\sqrt{\frac{4-x}{x}}dx$

    Solución

    Fíjese que no podemos aplicar sustitución trigonométrica de inmediato

    tomemos $u^2=x$, entonces $dx=2udu$; de donde tendremos
    \begin{eqnarray*} \int\sqrt{4-x\over x}dx&=&2\int\sqrt{4-u^2\over u^2}udu=2\int{\sqrt{4-u^2}\over u}udu\\ \\ &=&2\int\sqrt{4-u^2}du\\ \\ \mbox{ahora; sea}&& u=2\sin\theta\Longrightarrow du=2\cos\theta\t \\ \\ 2\int\sqrt{4-u^2}du&=&2\int4\cos^2\theta\t=8\int\left(\displaystyle1+\cos2\theta\over2\right)\t\\ \\ &=&4\int(1+\cos2\theta)\t=4\theta+2\sin2\theta+C\\ \\ &=&4\theta+\sin\theta\cos\theta+C \end{eqnarray*}
    sustituyendo según el triangulo

    tendremos
    $$2\int\sqrt{4-u^2}du=4\sin^{-1}\left(u\over2\right)+\left(u\over2\right)\left(\sqrt{4-u^2}\over2\right)+C$$
    sustituyendo $u^2=x$
    $$\therefore \int\sqrt{\frac{4-x}{x}}dx= 4\sin^{-1}\left(\sqrt{x}\over2\right)+\left(\sqrt{x}\over2\right)\left(\sqrt{4-x}\over2\right)+C$$



  7. Evalúe $\displaystyle \int\sqrt{\frac{x}{1-x^3}}dx$

    Solución

    Fíjese que no podemos aplicar sustitución trigonométrica, por lo que tomaremos la sustitución $u^2=x^3$, entonces $u=x^{3/2}$ y $du={2\over3}u^{-1/3}du$ de donde tendremos que


    \begin{eqnarray*} \int\sqrt{\frac{x}{1-x^3}}dx&=&\int\frac{\sqrt{u^{2/3}}u^{-1/3}}{\sqrt{1-u^2}}du\\ \\ &=&\int\frac{u^{1/3}u^{-1/3}}{\sqrt{1-u^2}}du\\ \\ &=&\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}du \end{eqnarray*}


    Ahora si podemos aplicar sustitución trigonométrica. Sea $u=\sin\theta$, entonces $du=\cos\theta\t$, de donde tendremos que

    entonces
    \begin{eqnarray*} \int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}du&=&\int\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\t=\int\t=\theta+C\\ \\ &&\mbox{sustituyendo según el triangulo} \\ \\ \int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}du&=&\sin^{-1}u+C \\ \\ &&\mbox{sustituyendo $u=x^{3/2}$, entonces}\\ \\ \therefore \int\sqrt{\frac{x}{1-x^3}}dx&=&\sin^{-1}\left(x^{3/2}\right)+C \end{eqnarray*}

Integración por sustitución trigonométrica
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