Una fracción álgebraica es el cociente de dos funciones polinomicas. Esto es
$$r(x)={\f\over\g}$$ en la cual $\f$ y $\g$ son polinomios tal que $\g\neq0$.
Si el grado de $\g$ es mayor que el de $\f$, entonces se dice que es una fracción racional.
Una fracción racional se dice ser simple si es de la forma
$${A\over ax+b} \ \ \ \ \mbox{ó} \ \ \ \ {Ax+B\over ax^2+bx+C}$$
El método de fracciones simples se fundamenta en la descomposición de una fracción racional en un conjunto de fracciones racionales sumando, lo cual es posible, siempre y cuando el denominador pueda descomponese en factores de primer y segundo grado irreducibles.
Tendremos los siguientes casos
(A) Cuando el denominador puede descomponese en factores de primer grado no repetidos, esto es
$${\f\over\g}={\f\over (a_1x+b_1)(a_2x+b_2)+\cdots+ (a_nx+b_n)}$$ entonces
$${\f\over \g}={A_1\over a_1x+b_1}+{A_2\over a_2x+b_2}+\ldots+{A_n\over a_nx+b_n}$$ en donde $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son constantes cuyos valores se determinan utilizando el segundo procedimiento de los siguientes Multiplicar por el denominador común; esto es
\begin{eqnarray*} \f=A_1(a_2x+b_2)(a_3x+b_3)&\ldots& (a_nx+b_n)\\&+&A_2(a_1x+b_1)(a_3x+b_3)\ldots (a_nx+b_n)\\&+& \ldots+ A_n(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\ldots (a_{n-1}x+b_{n-1}) \end{eqnarray*}
Desarrollar, agrupar y utilizar identidad de polinomios para formar el sistema, que al ser resuelto
nos dara los valores de $A_1, A_2,\ldots, A_n.$
(B) Cuando el denominador $\g$, puede descomponese en un factore de primer grado repetido $n$ veces, esto es
\begin{eqnarray*} {\f\over\g}&=&{\f\over (ax+b)^n}\\ &=&{A_1\over(ax+b)^n}+{A_2\over(ax+b)^{n-1}}+\ldots+{A_n\over ax+b} \end{eqnarray*}
en donde $A_1,A_2,\ldots,A_n$ son constantes cuyos valores se determinan utilizando el procedimiento descrito en el caso anterior.
(C) Cuando el denominador $\g$ puede descomponese en factores de segundo grado irreducibles no repetidos, esto es
$$ {\f\over\g}={\f\over (a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)\ldots (a_nx^2+b_nx+c_n)}$$ entonces $$ {\f\over\g}={A_1x+B_1\over a_1x^2+b_1x+c_1}+{A_2x+B_2\over a_2x^2+b_2x+c_2}+\ldots{A_nx+B_n\over a_nx^2+b_nx+c_n}$$
en donde $A_1,A_2,\ldots,A_n, B_1,B_2,\ldots,B_n$ son constantes cuyos valores se determinan utilizando el procedimiento descrito en el caso (A).
(D) Cuando el denominador $\g$, puede descomponese en un factore de segundo grado repetido ${n\over2}$ veces, esto es
\begin{eqnarray*} {\f\over\g}&=&{\f\over (ax+bx+C)^{n/2}}\\ &=&{A_1x+B_1\over(ax^2+bx+c)^{n/2}}+{A_2x+B_2\over(ax^2+bx+c)^{n/2-1}}+\ldots+{A_{n/2}x+B_{n/2}\over ax^2+bx+c} \end{eqnarray*}
en donde $A_1,A_2,\ldots,A_n, B_1,B_2,\ldots,B_n$ son constantes cuyos valores se determinan utilizando el procedimiento descrito en el caso (A).
Ejercicios Resueltos
- Desarrolle en fracciones parciales $ \displaystyle\f={1\over x^4-1} $
Factorizando $x^4-1$ tenemos $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x+1)(x-1)(x^2+1)$$ descomponiendo en fracciones parciales tenemos $$ {1\over x^4-1}={1\over(x^2-1)(x^2+1)}={1\over(x+1)(x-1)(x^2+1)}$$ hagamos
$$ {1\over(x+1)(x-1)(x^2+1)}={A\over x+1}+{B\over x-1}+{Cx+D\over x^2+1}$$
multiplicando ambos lados de la igualdad por $(x+1)(x-1)(x^2+1)$ tendremos \begin{eqnarray*} 1&=&A(x-1)(x^2+1)+B(x+1)(x^2+1)(Cx+D)(x+1)(x-1)\\ &=&A(x^3-x^2+x-1)+B(x^3+x^2+x+1)+C(x^3-x)+D(x^2-1)\\ \end{eqnarray*}
por igualdad de polinomios, igualando coeficientes, tendremos
resolviendo el sistema de ec. lineales tendremos que $$ A=-1/4, \ \ B=1/4, \ \ C=0 \ \ \mbox{y } \ \ D=-1/2 $$ entonces tendremos que $$\f={1\over x^4-1}={-1/4\over x+1}+{1/4\over x-1}+{-1/2\over x^2+1}$$
por tanto
\begin{eqnarray*} {1\over x^4-1}&=&-{1\over4}{1\over x+1}+{1\over 4}{1\over x-1}-{1\over2}{1\over x^2+1} \end{eqnarray*}
- Desarrollar en fracciones parciales $ \displaystyle {x^2+4x+1\over (x-1)(x+1)(x+3)} $
Descomponiendo en fracciones parciales tenemos
$${x^2+4x+1\over (x-1)(x+1)(x+3)}={A\over x-1}+{B\over x+1}+{C\over x+3}$$
multiplicando por $(x-1)(x+1)(x+3)$ de ambos lados de la igualdad tendremos
\begin{eqnarray*} x^2+4x+1&=& A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1) \\ &=& A(x^2+4x+3)+B(x^2+2x-3)+C(x^2-1) \end{eqnarray*}
por igualdad de polinomios, igualando coeficientes, tendremos
resolviendo el sistema de ec. lineales tendremos que
$$ A=3/4, \ \ B=1/2, \ \ \mbox{y} \ \ C=-1/4 $$
entonces tendremos que
\begin{eqnarray*} {x^2+4x+1\over (x-1)(x+1)(x+3)} &=& {3\over4}{1\over x-1}+{1\over2}{1\over x+1}-{1\over4}{1\over x+3} \ \end{eqnarray*}
- Desarrolle en fracciones parciales $ \displaystyle \frac{2x^3-4x^2-x-3}{x^2-2x-3} $
Note que en la fracción del integrando el grado del numerador es de mayor grado que el denominador, por lo que podemos dividir y tendremos que
$${2x^3-4x^2-x-3\over x^2-2x-3}=2x+{5x-3\over x^2-2x-3}$$
descomponiendo en fracciones parciales el segundo término del lado derecho
$${5x-3\over x^2-2x-3}={5x-3\over(x-3)(x+1)}={A\over x+1}+{B\over x-3}$$
multiplicando ambos lado de la igualdad por $(x-3)(x+1)$ se tendrá
$$5x-3=A(x-3)+B(x+1)=(A+B)x-3A+B $$
por igualdad de polinomios, igualando coeficientes, tendremos
resolviendo el sistema de ec. lineales tendremos que $A=2$ y $B=3$, entonces
$${2x^3-4x^2-x-3\over x^2-2x-3}=2x+{2\over x+1}+{3\over x-3}$$
- Desarrollar en fracciones parciales $ \displaystyle{2x^2+5x-1\over x^3+x^2-2x}$
Factorizando el denominador del integrando tendremos
$$x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x+2)(x-1)$$
la descomposición en fracciones parciales del integrando seía
$${2x^2+5x-1\over x(x+2)(x-1)}={A\over x}+{B\over x+2}+{C\over x-1}$$
multiplicando en ambos lados de la igualdad por $x(x+2)(x-1)$, tendremos
$$2x^2+5x-1=A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2)$$
usando el método de Heaviside, tendremossi $x=0$, entonces
$$-1=-2A\Longrightarrow A=1/2$$
si $x=-2$, entonces
$$-3=6B\Longrightarrow B=-1/2$$
si $x=1$, entonces
$$6=3C\Longrightarrow C=2$$ entonces
\begin{eqnarray*} {2x^2+5x-1\over x^3+x^2-2x}&=&{1\over2}{1\over x}-{1\over2}{1\over x+2}+2{1\over x-1} \end{eqnarray*}
- Desarrollar en fracciones parciales $ \displaystyle{x^3+3\over x^2-1}$
Note que en la fracción del integrando el grado del numerador es de mayor grado que el denominador, por lo que podemos dividir y tendremos que
$${x^3+3\over x^2-1}=x+{x+3\over x^2-1}$$
descomponiendo en fracciones parciales el segundo término del lado derecho
$${x+3\over(x-1)(x+1)}={A\over x-1}+{B\over x+1}$$
multiplicando en ambos lados de la igualdad por $(x-1)(x+1)$, tendremos
$$x+3=A(x+1)+B(x-1)$$
usando el método de Heavisidesi $x=1$, entonces
$$4=2A\Longrightarrow A=2$$
si $x=-1$, entonces
$$2=-2B\Longrightarrow B=-1$$
entonces
\begin{eqnarray*} {x^3+3\over x^2-1}&=&x+{2\over x-1}-{1\over x+1} \end{eqnarray*}
- Desarrollar en fracciones parciales $\displaystyle \frac{x^2+3x-5}{\left(x^2+2x+1\right)\left(2x-7\right)} $
\begin{align*} \frac{\left(x^2+3x-5\right)}{\left(x^2+2x+1\right)\left(2x-7\right)}&=\frac{x^2+3x-5}{\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}\& =\frac{a_0}{x+1}+\frac{a_1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{a_2}{2x-7} \end{align*}
{Multiplicando por del denominador ambos lados }
$$\frac{\left(x^2+3x-5\right)\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}{\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}$$
\begin{align*} &=\frac{a_0\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}{x+1}+\frac{a_1\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}{\left(x+1\right)^2}+\frac{a_2\left(x+1\right)^2\left(2x-7\right)}{2x-7}\\ \\ x^2+3x-5&=a_0\left(x+1\right)\left(2x-7\right)+a_1\left(2x-7\right)+a_2\left(x+1\right)^2 \end{align*}Si tomamos $x=-1$ obtenemos $$\left(-1\right)^2+3\left(-1\right)-5=a_0\left(\left(-1\right)+1\right)\left(2\left(-1\right)-7\right)+a_1\left(2\left(-1\right)-7\right)+a_2\left(\left(-1\right)+1\right)^2$$
$$-7=-9a_1\Longrightarrow a_1={9\over 7}$$
tomando ahora $x=7/2$ se obtiene $$\left(\frac{7}{2}\right)^2+3\cdot \frac{7}{2}-5=a_0\left(\frac{7}{2}+1\right)\left(2\cdot \frac{7}{2}-7\right)+a_1\left(2\cdot \frac{7}{2}-7\right)+a_2\left(\frac{7}{2}+1\right)^2$$ $$\frac{71}{4}=\frac{81a_2}{4}\Longrightarrow a_2=\frac{71}{81}$$sustituyendo $a_1$ y $a_2$ tenemos $$x^2+3x-5=a_0\left(x+1\right)\left(2x-7\right)+\frac{7}{9}\left(2x-7\right)+\frac{71}{81}\left(x+1\right)^2$$
y si desarrollamos llegamos a $$x^2+3x-5=-7a_0+2a_0x^2+\frac{71x^2}{81}+\frac{268x}{81}-5a_0x-\frac{370}{81}$$agrupando elementos $$x^2+3x-5=x^2\left(2a_0+\frac{71}{81}\right)+x\left(\frac{268}{81}-5a_0\right)+\left(-7a_0-\frac{370}{81}\right)$$ por igualación de polinomios podemos tomar $$-7a_0-\frac{370}{81}=-5$$ para encontrar $a_0$, esto es $a_0=\frac{5}{81}$. Por lo que sustituyendo, obtenemos la fracción parcial
\begin{align*} \frac{x^2+3x-5}{\left(x^2+2x+1\right)\left(2x-7\right)}&=\frac{\frac{5}{81}}{x+1}+\frac{\frac{7}{9}}{\left(x+1\right)^2}+\frac{\frac{71}{81}}{2x-7} \end{align*}
y si simplicamos se obtiene $$\frac{x^2+3x-5}{\left(x^2+2x+1\right)\left(2x-7\right)}=\frac{71}{81\left(2x-7\right)}+\frac{5}{81\left(x+1\right)}+\frac{7}{9\left(x+1\right)^2}$$
- Desarrollar en fracciones parciales $\displaystyle \frac{-5x-1}{4x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}$
Descomponiendo en fracciones parciales
$$\frac{-5x-1}{4x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}=\frac{a_0}{x}+\frac{a_1}{x+3}+\frac{a_2}{\left(x+3\right)^2}+\frac{a_3}{x-1}$$
Multiplicando por el denominador
\begin{align*} \frac{4x\left(-5x-1\right)\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}{4x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}&=\frac{4a_0x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}{x}\\ &\ \ \ \ \ +\frac{4a_1x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}{x+3}+\frac{4a_2x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}{\left(x+3\right)^2}\\& \ \ \ \ \ +\frac{4a_3x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}{x-1} \end{align*}
Simplificando esto obtenemos
\begin{align*} -5x-1&=4a_0\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)+4a_1x\left(x+3\right)\left(x-1\right)+4a_2x\left(x-1\right)\& \ \ \ \, \, \ \ \ \ +4a_3x\left(x+3\right)^2 \end{align*}
Si tomamos $x=0, \ x=-3, \ x=1$ obtenemos $a_0=1/36, \ a_2=7/24$ y $a_3=-3/32$ respectivamente. Luego sustituyendo esto tenemos lo siguiente $$-5x-1=4\cdot \frac{1}{36}\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)+4a_1x\left(x+3\right)\left(x-1\right)+4\cdot \frac{7}{24}x\left(x-1\right)+4\left(-\frac{3}{32}\right)x\left(x+3\right)^2$$
desarrollando esto se obtiene $$-5x-1=4a_1x^3+8a_1x^2-12a_1x-\frac{19}{72}x^3-\frac{19}{36}x^2-\frac{101}{24}x-1$$y luego agrupando para la variable $x$ $$5x-1=x^3\left(4a_1-\frac{19}{72}\right)+x^2\left(8a_1-\frac{19}{36}\right)+x\left(-12a_1-\frac{101}{24}\right)-1$$ por igualdad de polinomios podemos tomar $$-12a_1-\frac{101}{24}=-5$$ de donde se obtiene $a_1=\frac{19}{288}$ por lo que
$$\frac{\frac{1}{36}}{x}+\frac{\frac{19}{288}}{x+3}+\frac{\frac{7}{24}}{\left(x+3\right)^2}+\frac{\left(-\frac{3}{32}\right)}{x-1}$$
por tanto $$\frac{-5x-1}{4x\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)}=\frac{1}{36x}+\frac{19}{288\left(x+3\right)}+\frac{7}{24\left(x+3\right)^2}-\frac{3}{32\left(x-1\right)}$$