Las ecuaciones diferenciales exactas podrían decirse que son un poco inestables, por decirlo de alguna manera, ya que la exactitud exige un balance en la forma de la ecuación diferencial, el cual bajo modificaciones pequeñas se pierde.

Para ver los factores integrantes especiales, consideremos primero la ecuación canónica de la ecuación diferencial lineal, esto es

$${dy\over dx}+p(x)y=q(x)$$

podemos reescribir esta ecuación en forma diferencial de la siguiente manera, primero multipliquemos por $dx$, esto es

$$dy+p(x)ydx=q(x)dx \ \ \ \mbox{de aquí que } \ \ \ [p(x)y-q(x)]dx+dy=0$$

se puede observar que la forma de esta ecuación no es exacta, pero se vuelve exacta al multiplicar por el factor integrante $\mu(x)=e^{\int p(x)dx}$ y quedara de la siguiente forma

$$[\mu(x)p(x)y-\mu(x)q(x)]dx+\mu(x)dy=0$$

la condición de compatibilidad aquí es $\mu(x)p(x)=\mu'(x).$ De aqui podemos generalizar el concepto de factor intengrante, esto es, si la ecuación $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ no es exacta, pero si multiplicamos esta ecuación por $\mu(x,y)$ la ecuacion $$\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy=0$$
si es exacta. Y $\mu(x,y)$ es el factor integrante de la ecuación.

Si el factor integrante tiene primeras derivadas parciales continuas, para verificar la exactitud de la ecuacion de s debe cumplir que

$${\partial\over \partial y}[\mu(x,y)M(x,y)]={\partial\over \partial x}[\mu(x,y)N(x,y)]$$

al derivar usando la regla del producto y simplificando se obtiene

$$M{\partial\mu\over \partial y}-N{\partial \mu\over\partial x}=\left( {\partial N\over\partial x}-{\partial M\over\partial y}\right)\mu $$

Resolver esta ecuacion en funcion de $\mu$ puede ser muy dificil pero podemos analizar los siguientes dos casos:


  1. Supongamos que $\mu$ solo depende de $x$, de ser asi la ecuación anterior ser reduce a
    $$-N{\partial \mu\over\partial x}=\left( {\partial N\over\partial x}-{\partial M\over\partial y}\right)\mu\Longrightarrow {d \mu\over dx}=\left( \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} \right)\mu $$
    por lo que si $(\partial M/\partial y-\partial N/\partial x)$ es continua y solo depende de $x$, entonces

    $$\mu(x)=\exp\left[ \int \left( \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}\right)dx \right] $$

  2. Supongamos que $\mu$ solo depende de $y$, de ser asi la ecuación anterior ser reduce a
    $$M{\partial \mu\over\partial y}=\left( {\partial N\over\partial x}-{\partial M\over\partial y}\right)\mu\Longrightarrow {d \mu\over dy}=\left( \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} \right)\mu $$
    por lo que si $(\partial N/\partial x-\partial M/\partial y)$ es continua y solo depende de $y$, entonces

    $$\mu(y)=\exp\left[ \int \left( \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\right)dy \right] $$

Ejercicios Resueltos

Encontrar las soluciones de las siguientes ecuaciones




  1. $(2xy)dx+(y^2-3x^2)dy=0$

    Solución

    Tenemos que $M=2xy, \ \ \ \ \ N=y^2-3x^2$ por lo que $$ \pmm=2x, \ \ \ \ \ \pnn=-6x $$ por lo que se observa que la ecuación no es exacta y $$ \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{-8x}{2xy}=- {4\over y}$$ el cual solo depende de $y$ y el factor integrante esta dado por $$\mu(y)=\exp\left[ \int \left( \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}\right)dy \right]=\exp\left[ \int\left( -{4\over y}\right)dy\right] $$ $$\mu(y)=\exp\left[ -4\ln y\right] =y^{-4}$$ se prosigue ahora a multiplicar la ecuación dada por $\mu(y)$ para convertirla en una ecuación exacta, es decir $$y^{-4}(2xy)dx+y^{-4}(y^2-3x^2)dy=y^{-4}0=0$$ $$(2xy^{-3})dx+(y^{-2}-3x^2y^{-4})dy=0$$ procedemos ahora a resolver la ecuación exacta obtenida con $M=2xy^{-3}$ y $N=y^{-2}-3x^2y^{-4}$, por lo que se sigue que $$\phi(x,y)=\int Mdx=\int(2xy^{-3})dx=x^2y^{-3}+g(y)$$ derivando respecto de $y$ e igualando a $N$ se tiene $$\phi_y=-3x^2y^{-4}+g'(y)=y^{-2}-3x^2y^{-4}$$ por lo que $g'(y)=y^{-2}$ integrando $g(x)=-y^{-1}$ por lo que la solución esta dado por $$\phi(x,y)=x^2y^{-3}-y^{-1}=c$$




  2. $(x^4-x+y)dy-xdy=0$

    Solución

    Lo primero es verificar si es exacta, dado $M(x,y)=x^4-x+y$ y $N(x,y)=-x$ de donde se obtiene que $$M_y=1, \ \ \ \ N_x=-1 \ \ \ \ \ \text{por lo que no es exacta}$$ ahora tomenos $$\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{1+1}{-x}=-{2\over x}$$ el cual solo depende de $x$ por lo que el factor integrante esta dado por $$\mu(x)=\exp\left( \int\left( -{2\over x}\right) dx\right) =\exp(-2\ln|x|)=x^{-2}$$ multiplicando la ecuación dada por $\mu(x)$ para obtener la siguiente ecuación exacta $$ x^{-2}[(x^4-x+y)dy-xdy] =0\Longrightarrow (x^2-x^{-1}+x^{-2}y)dx+x^{-1}dy=0$$ Tomemos ahora $$\phi(x,y)=\int Ndy=\int(-x^{-1})dy=-x^{-1}y+h(x)$$ de aquí que $$\phi_x=x^{-2}y+h'(x)=M=x^2-x^{-1}+x^{-2}y$$ entonces $$h'(x)=x^2-x^{-1}\Longrightarrow h(x)={1\over3}x^3-\ln|x|$$ por lo que la solución de la ecuación esta dada por $$-x^{-1}y+{1\over3}x^3-\ln|x|=c$$




  3. $(2xy^3+1)dx+(3x^2y^2-y^{-1})dy=0$

    Solución

    Verificando si es exacto, $M=2xy^3+1, \ \ \ N=3x^2y^2-y^{-1}$, entonces $$M_y=6xy^2=N_x\ \ \ \ \ \text{por lo que la ecuación es exacta}$$ solo hay que proceder a resolverla, tomando $$\phi(x,y)=\int Mdx=\int(2xy^3+1)dx=x^2y^3+x+g(y)$$ entonces $$\phi_y=3x^2y^2+g'(y)=N=3x^2y^2-y^{-1}$$ $$g'(y)=y^{-1}\Longrightarrow g(y)=-\ln|y|$$ por lo que la solución $\phi $ esta dada por $$x^2y^3+x-\ln|y|=c$$




  4. Determine el factor integrante de la forma $x^ny^m$ y resuelva la ecución $$(12+5xy)dx+(6xy^{-1}+3x^2)dy=0$$

    Solución

    Para esto multiplicamos la ecuación por $x^ny^m$ y obtenemos $$(12x^ny^m+5x^{n+1}y^{m+1})dx+(6x^{n+1}y^{m-1}+3x^{n+2}y^{m})dy=0$$ tomemos ahora las parciales $M_y$ y $N_x$ \begin{eqnarray*} M&=&12x^ny^m+5x^{n+1}y^{m+1}\\ N&=&6x^{n+1}y^{m-1}+3x^{n+1}y^{m-1}\\ M_y&=& 12mx^{n}y^{m-1}+5(m+1)x^{n+1}y^{m}\\ N_x&=&6(n+1)x^ny^{m-1}+3(n+2)x^{n+1}y^m \end{eqnarray*} Se puede observar que estas dos expresiones tienen las mismas variables con iguales potencias, por lo que hay que buscar los coeficietes de modo que sean iguales para que sea exacta, es decir por igualdad de polinomios, si $M_y=N_x$, entonces $$12m=6(n+1) \ \ \ \text{y} \ \ \ 5(m+1)=3(n+2) $$ de donde se obtiene el siguiente sistema $$\left\lbrace 12m-6n=6\atop 5m-3n=1\right.\Longrightarrow m=2, n=3 $$ por lo que el factor esta dado por $x^3y^2$ para obtener $$(12x^3y^2+5x^{4}y^{3})dx+(6x^{4}y+3x^{5}y^{2})dy=0$$ la cual es exacta. Resolviendo la ecuación exacta obtenida tomando $$\phi(x,y)=\int Mdx=\int (12x^3y^2+5x^{4}y^{3})dx=3x^4y^2+x^5y^3+g(y)$$ $$\Longrightarrow\phi_y=6x^4y^2+3x^5y^2+g'(y)=N=6x^4y^2+3x^5y^2$$ por lo que $g'(y)=0\Longrightarrow g(y)=0$ por lo que la solución esta dada por $$3x^4y^2+x^5y^3=c$$





  5. $(1-xy)y’+y^2+3xy^3=0$

    Solución

    Podemos reescribir la ecuación de la siguiente dorma $$(1-xy){dy\over dx}+y^2+3xy^3=0\Longrightarrow(y^2+3xy^3)dx+(1-xy)dy=0$$ de donde se tiene que $$M=y^2+3xy^3, \ \ \ N=1-xy$$ $$M_y=2y+9xy^2, \ \ \ N_x=-y$$ como no es exacta tomemos primero

    $${M_y-N_x\over N}={3y+9xy^2\over 1-xy}={3y(1+3xy)\over 1-xy}$$
    al ver la expresión nos damos cuenta que no conviene tomarla, por lo que tomaremos
    $${N_x-M_y\over M}=\frac{-y-2y-9xy^2}{y^2+3xy^3}={-3y(1+3xy)\over y^2(1+3xy)}=-{3\over y}$$ el cual solo depende de $y$ por lo que el factor integrante esta dado por
    $$\mu(y)=\exp\left( \int\left( -{3\over y}\right) dy\right)=\exp(-3\ln|y|) =y^{-3}$$
    multiplicando la ecuación exacta obtenida por $\mu(y)$ se obtiene
    $$(y^{-1}+3x)dx+(y^{-3}-xy^{-2})dy=0$$ de donde se tiene que $M_y=-y^{-2}=N_x$ por lo que podemos tomar
    $$\phi(x,y)=\int Mdx=\int(y^{-1}+3x)dx=xy^{-1}+{3\over 2}x^2+g(y)$$
    entonces $$\phi_y=-xy^{-2}+g'(y)=N=y^{-3}-xy^{-2}\Longrightarrow g'(y)=y^{-3}$$
    entonces $g(y)=-(1/2)y^{-2}$ y la solución esta dada por
    $$xy^{-1}+{3\over 2}x^2-{1\over2}y^{-2}=c$$




  6. Muestre que si $(\partial N/\partial x-\partial M/\partial y)/(M-N)$ solo depende de $x+y$, entonces la ecuación $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ tiene factor imtegrante de la forma $\mu(x+y).$

    Solución

    $Mdx+Ndy+0$ tiene factor integrante de la forma $\mu(x+y)$ si y solo si
    $${\partial \over \partial y}(\mu(x+y)M(x,y))={\partial \over \partial x}(\mu(x+y)N(x,y))$$ aplicando la regla del producto para derivada
    $$\pppy\mu(x+y)M(x,y)+\mu(x+y)\pppy M(x,y)=\pppx\mu(x+y)N(x,y)+\mu(x+y)\pppx N(x,y)$$
    que es lo mismo que
    $$\mu'(x+y)M(x,y)+\mu(x+y)M_y(x,y)=\mu'(x+y)N(x,y)+\mu(x+y)N_x(x,y)$$

    $$\mu'(x+y)M(x,y)-\mu(x+y)N(x,y)=\mu(x+y)N_x(x,y)-\mu(x+y)M_y(x,y)$$

    $$\mu'(x+y)[M(x,y)-N(x,y)]=\mu(x+y)[N_x(x,y)-M_y(x,y)]$$

    $${\mu'(x+y)\over \mu(x+y)}={N_x-M_y\over M-N}$$

    como se supone que dicho factor solo depende de $x+y$ podemos tomar la sustitución $z=x+y$ por lo que

    $${\mu'(z)\over \mu(z)}={N_z-M_z\over M-N}$$ entonces tomando integrando respecto de $z$ $$\ln|\mu(z)|=\int{N_z-M_z\over M-N}dz$$
    $$\mu(z)=\exp\left( \int{N_z-M_z\over M-N}dz\right) $$
    por lo que el factor integrante queda expresado en función de $x+y.$




  7. $\cos xdx+\left( 1+{2\over y}\right) \sin xdy=0$

    Solución

    Tenemos que $$M=\cos x\Longrightarrow M_y=0$$
    $$N=\left( 1+{2\over y}\right) \sin x\Longrightarrow N_x\left( 1+{2\over y}\right) \cos x$$ por lo que no es exacta, tomemos
    $${M_y-N_x\over N}={0-\left( 1+{2\over y}\right) \cos x\over \left( 1+{2\over y}\right) \sin x}=-\cot x$$ por lo que $$\mu(x)=\exp\left( \int -\cot xdx\right) =\csc x$$
    multiplicando por $\mu(x)=\csc x$ la ecuación se tiene que
    $$\csc x\cos xdx+\left( 1+{2\over y}\right) \sin x\csc x=0$$
    $$\cot xdx+\left( 1+{2\over y}\right) dy=0$$
    la cual es exacta. Tomemos $$\phi(x,y)=\int Mdx=\int \cot xdx=\ln(\sin x)+g(y)$$
    entonces
    $$\pppy=g'(y)=N= 1+{2\over y}\Longrightarrow g(y)=\int \left( 1+{2\over y}\right)dy=y+\ln y^2$$
    por lo que la solución $\phi $ esta dada por
    $$\ln(\sin x)+y+\ln y^2=k$$

Factores integrantes especiales
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