Veremos aquí ejemplos de integrales definidas elementales y el uso del teorema fundamental del cálculo. También veremos la regla de sustitución para para integrales definida.

Recuerde que una función continua $f$ tiene una antiderivada $F$ dada por $$F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$$ (puede ver Teorema fundamental del cálculo (Introducción, primera parte) y Integral definida (segunda parte del teorema fundamental))

De donde tenemos que $${d\over dx}F(x)={d\over dx}\int_{a}^{x} f(t) d t=f(x)$$

Usando la regla de la cadena podemos derivar algunas fórmulas generales para algunos problemas. O sea

$$\frac{d}{{dx}}\int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = u’\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)} \right)$$

es una generalidad de la regla de la cadena para este tipo de problemas. De manera analoga y en forma de parodia tenemos

$$\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,b}}{{f\left( t \right)\,dt}} =-\frac{d}{{dx}}\int_{{\,b}}^{{\,v\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = -v’\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right)$$

Y como ha de imaginarse podemos considerar este tipo de problema para ambos limites de la integral, es decir

$$\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} = \int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}$$

Podemos separarla en dos integrales siempre que $f(a)$ exista, de donde se obtiene lo siguiente

\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} & = \frac{d}{{dx}}\left( {\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}} \right)\\ & = – v’\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right) + u’\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)}\right)\end{align*}



  1. Encuentre $\frac{d}{d x}\left[\int_{1}^{x} t^{5} d t\right]$

    $$\frac{d}{d x}\left[\int_{1}^{x} t^{5} d t\right]=x^{5}$$


  2. Encuentre $\frac{d}{d x}\left[\int_{x}^{4} \tan ^{2} u \cos u d u\right], \ \frac{\pi}{2}$

    \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{d}{d x}\left[\int_{x}^{4} \tan ^{2} u \cos u d u\right] &=\frac{d}{d x}\left[-\int_{4}^{x} \tan ^{2} u \cos u d u\right] \\ &=-\frac{d}{d x}\left[\int_{4}^{x} \tan ^{2} u \cos u d u\right]=-\tan ^{2} x \cos x \end{aligned} \end{equation*}


  3. $G(x)=\int_{1}^{x^{2}} \operatorname{sen} t d t$ encontrar $G^{\prime}(x)$

    Observe que aquí sale algo diferente a los dos ejercicios anteriores y es que en el limite superior de la integral tenemos la función $x^2$ por lo que procederemos a aplicar la regla de la cadena, es decir, tomando $u=x^2$

    $$G^{\prime}(x)={dG(u)\over dx}\cdot {du\over dx}={d\over du}\left( \int_{1}^{u} \operatorname{sen} t d t\right) {du\over dx}=(\operatorname{sen}u)(2x)$$ por lo que $G^{\prime}(x)=2x\operatorname{sen} x^2$


  4. ${d\over dx}\left( \int_{-x^{2}}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right) $

    \begin{eqnarray*}{d\over dx}\left( \int_{-x^{2}}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right)&=&{d\over dx}\left( \int_{-x^{2}}^{1} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt +\int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right)\\ &=&{d\over dx}\left( -\int_1^{-x^{2}} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt +\int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right) \\ &=&-{d\over dx}\left( \int_1^{-x^{2}} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right) +{d\over dx}\left( \int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right) \end{eqnarray*} Si tomamos $u=-x^2$ para $-{d\over dx}\left( \int_1^{-x^{2}} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right)$ entonces $$-{d\over du}\left( \int^u_1\frac{t^2}{1+t^2}dt\right) {du\over dx}=-\frac{u^2}{1+u^2}{du\over dx}$$ luego $$-{d\over dx}\left( \int_1^{-x^{2}} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right)=-\frac{x^4}{1+x^4}{(-2x)}=\frac{2x^5}{1+x^4}$$ y asi se tiene que $${d\over dx}\left( \int_{-x^{2}}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{2}}dt\right)=\frac{2x^5}{1+x^4}+\frac{x^2}{1+x^2}$$


  5. $G(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{sen} x} t^{5} d t$ Igual que el caso anterior tenemos que \begin{eqnarray*} G(x)=\int_{\cos x}^{\operatorname{sen} x} t^{5} d t=G(x)=\int_{\cos x}^1t^5dt+\int_1^{\operatorname{sen} x} t^{5} d t \end{eqnarray*}

    y ahora solo queda usar la siguiente formula \begin{align*}\frac{d}{{dx}}\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}} & = \frac{d}{{dx}}\left( {\int_{{\,v\left( x \right)}}^{{\,a}}{{f\left( t \right)\,dt}} + \int_{{\,a}}^{{\,u\left( x \right)}}{{f\left( t \right)\,dt}}} \right)\\ & = – v’\left( x \right)f\left( {v\left( x \right)} \right) + u’\left( x \right)f\left( {u\left( x \right)}\right)\end{align*}

    donde $u(x)=\operatorname{sen}x$ y $v(x)=\cos x$ entonces $u'(x)=\cos x$ y $v'(x)=-\operatorname{sen}x$ luego

    $$G'(x)=-(-\operatorname{sen}x)\cos^5x+\cos x\operatorname{sen}^5x$$

    $$G'(x)=\operatorname{sen}x\cos^5x+\cos x\operatorname{sen}^5x$$


  6. $ g (x) = \int_ {1} ^ {x ^ {3}} (3 t + \operatorname{sen} t) d t $


    Debemos aplicar la regla de la cadena, ya que nuestra función es una composición de dos partes, es decir $$ m (x) = \int_ {1} ^ {x} 3 t + \operatorname{sen} tdt $$ y $$ n ( x) = x ^ {3}, $$ luego $ g (x) = (m \circ n) (x) $. Así, aplicando la regla de la cadena obtenemos que (esto no es más que otra manera de decir lo mismo que vimos en los dos ejercicios anteriores)
    $$\frac{d}{d x} g (x) = \left[3 x^{4} + \operatorname{sen} x ^ {4} \right] \cdot 4 x^3
    $$

Ejemplos del teorema fundamental de cálculo
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