Podría decirse que la ecuación con el método más sencillo para resolverla es la de variables separables.


Definición Una ecuación diferencial ordinaria de variables separables es una ecuación diferencial de la forma $$ y’={dy\over dx}=\frac{f(x)}{g(y)}\ (1) $$ cuya solución esta dada por $$\int g(y)dy=\int f(x) dx$$


La ecuación diferencial original (1) se puede escribir en la forma
$$g(y){dy\over dx}=f(x)$$
supongamos que $G(y) $ y $F(x)$ son antiderivas de $g(y) $ y $f(x)$ respectivamente, o sea $$G'(y)=h(y) \ \ \mbox{y} \ \ F'(x)=f(x)$$
sustituyendo en la primera expresión $$G'(y){dy\over dx}=F'(x)$$
entonces por regla de la cadena a la función $G$, se tiene
$${d\over dx} G(y(x))=G'(y(x)){dy\over dx}=F'(x)$$
entonces $G(y(x))$ y $F(x)$ son dos funciones con la misma derivada por lo que difieren en una constante $$G(y(x))=F(x)+c$$

Ejercicios Resueltos

Resolver la EDO $ \ \displaystyle {dy\over dx}=\frac{1-x^2}{y^2}$

Solución

Multimplicando por $\ y^2dx \ $ ambos lados de la ecuación tendremos $$y^2dy=(1-x^2)dx$$ integrando de ambos lados $$\int y^2dy=\int (1-x^2)dx$$entonces $${1\over3}y^3=x-{1\over3}x^2+c_1$$
multimplicando por $3$ de ambos lados $$y^3=3x-x^3+3c_1=3x-x^3+c$$ para $c=3c_1$. $$y^3=3x-x^3+c$$


Resolver la EDO $ \ \ \ \displaystyle {dy\over dx}=y(2+\sin x)$

Solución

Dividiendo por $ \ y \ $ y multimplicando por $ \ dx \ $ ambos lados de la igualdad, se tiene que $${dy\over y}=(2+\sin x)dx$$
integrando de ambos lados, tendremos

$$\int{dy\over y}=\int(2+\sin x)dx$$ entonces $$\ln|y|=2x-\cos x+c_1$$ aplicando expenencial a ambos lados de la igualdad $$e^{\ln|y|}=e^{2x-\cos x+c_1}=e^{2x-\cos x}e^{c_1}$$ entonces $$y=c e^{2x-\cos x}$$ para $c=e^{c_1}$.


Resolver la EDO $\ \displaystyle {dy\over dx}=\frac{\sec^2y}{1+x^2}$

Solución

Despejando y agrupando miembros de igual variable $${dy\over \sec^2y}={dx\over1+x^2}\Longrightarrow \cos^2ydy={dx\over1+x^2}$$ integrando de ambos lados $$\int\cos^2ydy=\int{dx\over1+x^2}$$ recuerde que $\cos^2y={1+\cos2y\over2}$, entonces $$\int{1+\cos2y\over2}dy=\int{dx\over1+x^2}$$ por lo que $$ {1\over2}y+{1\over4}\sin2y=\tan^{-1}x+c_1 $$
multimplicando por $4$ ambos lados de la igualdad se tiene que $$2y+\sin2y=4\tan^{-1}+c$$ donde $c=4c_1.$


Resolver la EDO $ \ \displaystyle {dx\over dt}+x^2=x$

Solución

Tendremos que $${dx\over dt}=x-x^2\Longrightarrow dx=(x-x^2)dt $$
$${dx\over x-x^2}=dt \Longrightarrow {dx\over x(1-x)}=dt$$ integrando
$$ \int{dx\over x(1-x)}=\int dt $$ aplicado fracciónes parciales al lado izquierdo $${1\over x(1-x)}={A\over x}+{B\over1-x}$$ entonces multimplicando por $x(1-x)$, se tiene $$1=A(1-x)+Bx$$ aplicado el método de Heaviside se tendra que $$ A=B=1 $$ entonces
$$\int{1\over x(1-x)}=\int{dx\over x}+\int{dx\over1-x}$$
por lo que se tiene $$\int dt=\int{dx\over x(1-x)}=\int{dx\over x}+\int{dx\over 1-x}$$ entonces $$t=\ln|x|-\ln|1-x|+c=\ln\left| x\over 1-x\right|+c$$


Resolver la EDO $ \ \displaystyle 3y^2y’=(1+y^3)\cos x $

Solución

Tenemos que $$3y^2{dy\over dx}=(1+y^3)\cos x\Longrightarrow {3y^2\over1+y^3}{dy\over dx}=\cos x$$ $${3y^2\over1+y^3}dy=\cos xdx\Longrightarrow\int{3y^2\over1+y^3}dy= \int\cos xdx$$
$$ \Longrightarrow \ln|1+y^3|=\sin x+c_1 \ \ \mbox{aplicado exp.}\Longrightarrow e^{\ln|1+y^3|}=e^{\sin x}e^{c_1}=ce^{\sin x} $$

$$\ni c=e^{c_1} \ \ \Longrightarrow 1+y^3= ce^{\sin x}\Longrightarrow y^3=ce^{\sin x}-1 \ \ $$ $$ \Longrightarrow y=\sqrt[3]{ce^{\sin x}-1}$$


Resolver la EDO $ \ \displaystyle y’={1+y^2\over 1+x^2} , \ \ y(2)=3 $

Solución

Si $ \ \displaystyle{dy\over dx}={1+y^2\over 1+x^2} $, entonces $${1\over 1+y^2}dy={1\over 1+x^2}dx$$ integrando $$\int{1\over 1+y^2}dy=\int{1\over 1+x^2}dx$$
entonces $$\tan^{-1}y=\tan^{-1}x+c_1$$ aplicando tangente a ambos lados
$$ \tan(\tan^{-1}y)=y=\tan(\tan^{-1}x+c_1) $$ recuerde que $$\tan(a+b)= {\tan a+\tan b\over1-\tan a\tan b}$$
entonces

\begin{eqnarray} y&=&\tan(\tan^{-1}x+c_1)={\tan(\tan^{-1}x)+\tan c_1\over1-\tan(\tan^{-1}x)\tan c_1 }\ \ &=&{x+c\over 1-cx} \ \ \mbox{para} \ \tan c_1=c \end{eqnarray}
entonces $$y={x+c\over 1-cx}$$ encontrando $c$ con el valor inicial dado $y(2)=3$, se tiene que $$y(2)={2+c\over1-2c}=3\Longrightarrow 2+c=3(1-2c)=3-6c$$ $$2+c=3-6c\Longrightarrow c+6c=3-2\Longrightarrow7c=1$$ $$c=1/7$$ entonces $$y= {x+(1/7)\over1-(x/7)}= \frac{{7x+1\over7}}{ {7-x\over7}}={7x+1\over 7-x}$$ entonces $$y={7x+1\over 7-x}$$


Resolver la EDO $ \ \displaystyle 2(y-1)y’=e^x, \ \ y(0)=-2 $

Solución

Si $\ 2(y-1)y’=e^x,\ $ entonces $$2(y-1){dy\over dx}=e^x$$ entonces $$2(y-1)dy=e^xdx$$ integrando $$2\int(y-1)dy=\int e^xdx$$
entonces $$y^2-2y=e^x+c_1$$
$$\Longrightarrow y^2-2y-e^x-c_1= 0 \ \ \ \mbox{ec. de segundo grado }$$
recuerde que $$y={-b\pm\sqrt{b^2-4ac}\over 2a}$$
por lo que tendremos
$$ y={-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-e^x-c_1)}\over 2(1)} $$

$$={2\pm\sqrt{4+4e^x+4c_1}\over 2}$$ $$= {2\pm2\sqrt{1+e^x+c_1}\over 2}\ $$ $$=1\pm\sqrt{1+e^x+c_1}$$ $$=1\pm\sqrt{e^x+c} \ \ \mbox{para $c_1+1=c$}$$ $$ y=1\pm\sqrt{e^x+c} $$
si $ \ y=1+\sqrt{c+e^x},\ $ entonces encontrando $c$ con el valor inicial dado $y(0)=-2$, se tiene que
$$ y(0)=1+\sqrt{c+e^0}=1+\sqrt{1+c}=-2 $$
$$\Longrightarrow1+ \sqrt{1+c}=-2\Longrightarrow\sqrt{1+c}=-3$$
$$\Longrightarrow1+c=9$$ por lo que $\ c=8\ $ por tanto $$y=1+\sqrt{8+e^x}$$


Resolver la EDO $ \ \displaystyle 2y’=y(y-2)$

Solución

Esto es $${2dy\over y(y-2)}=dx$$ integrando $$\int{2dy\over y(y-2)}=\int dx$$ fijese que para resolver $\int{2dy\over y(y-2)}$ aplicaremos el método de fracciones parciales, para esto tomemos el integrando
$${2\over y(y-2)}={A\over y}+{B\over y-2}$$entonces $$2=A(y-2)+By$$
aplicando el método de Heaviside

si $y=0$, entonces $$-2A=2\Longrightarrow A=-1$$
si $y=2$, entonces $$2B=2\Longrightarrow B=1$$

entonces $$\int{2dy\over y(y-2)}=\int{dy\over (y-2)}-\int{dy\over y}$$

de donde tendremos que $$\int{dy\over (y-2)}-\int{dy\over y}=\int dx$$
entonces $$ \ln|y-2|-\ln|y|=x+c_1 $$ $$\Longrightarrow\ln\left|{y-2\over y}\right|=x+c_1$$ aplicado expenencial

$$\displaystyle e^{\ln\left|{y-2\over y}\right|}=e^{x+c_1}$$
$${y-2\over y}=e^xe^{c_1}=ce^x \ \ \ \ \ e^{c_1}=c$$ $${y-2\over y}=ce^x$$ entonces $$1-{2\over y}=ce^x\Longrightarrow -{2\over y}=ce^x-1$$ $${1\over y}={1-ce^x\over2}\Longrightarrow y={2\over 1-ce^x}$$

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Separables

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