Ecuaciones diferenciales ordinarias (Introducción)

Desde un primer curso de cálculo diferencial, sabemos que, dada una función $y=f(x)$, su derivada ${dy\over dx}=f'(x)$ que es una función que se puede encontrar por medio de ciertas reglas. Por ejemplo, si $y=e^{x^4}$, entonces $${dy\over dx}=4x^3e^{x^4}$$ o, lo que es lo mismo, sustituyendo $y=e^{x^4}$ $${dy\over dx} = 4x^3y$$

El problema ya no conciste en encontrar la derivada de una función dada; si no que, consiste en dada una ecuación de la forma ${dy\over dx}=4x^3y$, hallar una función $y=f(x)$ que satisfaga dicha ecuación. Esto es lo que se le llama ecuación diferencial. La forma de ecuación diferencial más sencilla es la expresión de la forma ${dy\over dx}=f(x)$.

Resolver una ecuación diferencial es encontrar una función tal que su derivada sea $f(x)$, es decir, encontrar las primitivas (antiderivas ó integrales indefinidas) de $f(x)$.

Sea $y'(x)$ la derivada de alguna función $f(x)$ es decir que $${dy\over dx}(x)=f'(x)$$ obtenemos como ya vimos una ecuación diferencial. Esta ecuación se puede expresar como: $$dy(x)=f'(x)dx$$ si integramos de ambos lados obtenemos $$\int dy(x)=\int f'(x)dx\Longrightarrow y(x)=f(x)+c$$ que es una familia de funciones, en este caso de soluciones para la ecuación diferencial.

Definición Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación.

Definición Una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ es una función implícita $(y=y(x))$. $$F(x,y,y’,y”,y”’,…,y^n)=0$$

También se puede expresar como sigue
$${d^ny\over dx^n}=f\left(x,y,{dy\over dx},…,{d^{n-1}y\over dx^{n-1}} \right) $$

Definición Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma $$ a_n(x){dy^n\over dx^n}+a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+…+a_1(x)\frac{d^{}y}{dx^{}}+a_0(x)y=g(x) $$ y se llama lineal homogénea si, además, $g(x) = 0$.

Dada una ecuación lineal, su correspondiente ecuación lineal homogénea en la que se ha hecho $g(x) = 0$ se
denomina lineal homogénea asociada. Una ecuación que no es lineal se dice no lineal.

Definición Una función $\ \phi(x)$ tal que al sustituir la en vez de $y$ en la ecuación de la definición 2, si satisface la ecuación para toda $x$ en el intervalo $I$ es una solución explícita de la ecuación en $I$.

Definición Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden $n$
$$F(x,y,y’,y”,y”’,…,y^{n})=0$$
se debe entender: Hallar una solución de la ecuación diferencial en un intervalo $I$ que satisfaga en $x_0$ las $n$ condiciones iniciales

$$y(x_0)=y_0 $$ $$ {dy\over dx}(x_0)=y'(x_0)=y_1$$
$${d^2y\over dx^2}(x_0)=y”(x_0)=y_2$$ $$\vdots$$ $${d^{n-1}y\over dx^{n-1}}(x_0)=y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}$$ donde $x_0 \in I$ y $y_0 , y_1 , . . . , y_n $ son constantes dadas.

Encontrar solución o verificar que las siguientes funciones son soluciones de las correspondientes ecuaciones diferenciales.

Resuelva la ecuación diferencial $ y’=2x$

Solución

Recuerde que $y’=dy/dx$, entonces

$${dy\over dx}=y’=2x \Longrightarrow dy=2xdx$$ integrando de ambos lados con respecto a $x$ se tiene que $$\int dy=\int 2xdx\Longrightarrow y=x^2+c$$ que la solución de la edo.

Resuelva la ecuación diferencial $ y’=e^x+2x$

Solución

Fijese que tendremos que

$${dy\over dx}=e^x+2x\Longrightarrow dy=(e^x+2x)dx $$ por lo que integrando, tendremos que $$\int dy=\int(e^x+2x)dx$$ entonces $$ y=e^x+x^2+c$$
que es la solución.

Resuelva la ecuación diferencial $ y’=\cos x+{1\over2}e^{-2x}$

Solución

Tendremos que $${dy\over dx}=\cos x+{1\over2}e^{-2x}$$ despejando $$dy=\left(\cos x+{1\over2}e^{-2x}\right)dx$$ integrando se $$\int dy=\int\left(\cos x+{1\over2}e^{-2x}\right)dx$$ de donde se tiene que la solución es $$y=\sin x-{1\over4}e^{-2x}$$

Resuelva la ecuación diferencial $ y’=\displaystyle {2x\ln|x^2+1|\over x^2+1}$

Solución

Tenemos que $${dy\over dx}={2x\ln|x^2+1|\over x^2+1}$$ por lo que $$dy=\left( {2x\ln|x^2+1|\over x^2+1} \right)dx$$ integrando $$\int dy=\int \left( {2x\ln|x^2+1|\over x^2+1} \right)dx$$ aplicando sustición para resolver la integral del lado derecho tomando $u=\ln|x^2+1|$ se tiene la solución $$y={1\over2}\left( \ln|x^2+1| \right)^2+c$$

Resuelva la ecuación diferencial $ y”=12e^{-2x}+e^x$

Solución

Esto es $$y”={d^2y\over dx^2}=12e^{-2x}+e^x$$ entonces $${dy\over dx}=\int(12e^{-2x}+e^x)dx+c=-6e^{-2x}+e^x+c$$ esto es $${dy\over dx}=-6e^{-2x}+e^x+c_1\Longrightarrow y=\int(-6e^{-2x}+e^x)dx+c$$ entonces
$$y=3e^{-2x}+e^x+c$$

Verificar si $y=x^2+c $ es solución de $ \ y’=2x$

Solución $$ y’=2x\Longleftrightarrow y’-2x=0 \ \ \ \ \ (1)$$
$$y=x^2+c\Longrightarrow y’=2x \ \ \ \ \ \ (2)$$
sustituyendo (2) en (1) se tendra la igualdad
$$2x-2x=0$$ por lo tanto $y$ es solución de la ecuación diferencial ordinaria.

Verificar si $\ \phi(x)=e^x-x$ es solución de $\displaystyle {dy\over dx}+y^2=e^{2x}+(1-2x)e^x+x^2-1$ en el intervalo $(-\infty,\infty).$

Solución

Recuerde que $y=\phi(x)\Longrightarrow$

$$\phi'(x)=e^x-1$$
fijese que $${dy\over dx}+y^2=e^{2x}+(1-2x)e^x+x^2-1\Longleftrightarrow{dy\over dx} +y^2-e^{2x}-(1-2x)e^x-x^2+1=0$$

sustituyendo al de derecha de la expresión anterior $\phi$ se tiene y $\phi ‘$ $$e^x-1+(e^x-x)^2-e^{2x}-(1-2x)e^x-x^2+1=0$$
desarrollando el binomio y multimplicando el producto por $e^x$
$$e^x-1+e^{2x}-2xe^x+x^2-e^{2x}-e^x+2xe^x-x^2+1=0$$
se cumple la igualdad por lo que $\phi $ es solución de la edo.

Verificar si $\displaystyle \phi=e^{-\sin x}$ es solución de $y’+(\cos x) y=0$

Solución

Recuerde que $y=\phi(x)=e^{-\sin x}\Longrightarrow y’=(-\cos x)e^{-\sin x} $ sustituyendo en la ecuación tendremos que $$y’+(\cos x)e^{-\sin x}=-(\cos x)e^{-\sin x}+(\cos x)e^{-\sin x}=0$$ por lo que $\phi$ es una solución de la ecuación diferencial.

Verificar si $\displaystyle \phi(x)=c_1\cos kx+c_2\sin kx$ es solución de $y”+k^2y=0.$

Solución

Fijese que se necesita $\phi”\Longrightarrow$

$$\phi'(x)=-kc_1\sin kx+kc_2\cos kx$$
entonces $$\phi”(x)=-k^2c_1\cos kx-k^2\sin kx=-k^2(c_1\cos kx+c_2\sin kx)$$
sustituyendo en la ecuación diferencial $\phi”$ y $\phi$ se tiene $$ -k^2(c_1\cos kx+c_2\sin kx)+k^2(c_1\cos kx+c_2\sin kx)=0 $$ por tanto $\phi$ es solución de la ecuación diferencial.

Muestre que $y^2+x-3=0$ es una solución implícita de $\displaystyle {dy\over dx}=-{1\over 2y} $ en el intervalo $(-\infty,3).$

Solución

Derivando implícitamente $y^2+x-3=0$, teniendo en cuenta la regla de la cadena, esto es $$ {d\over dx}\left( y^2+x-3 \right)={d\over dx}0 $$ entonces

$$2y{dy\over dx}+=0\Longrightarrow 2y{dy\over dx}=-1$$ por lo que

$${dy\over dx}=-{1\over2y}$$

por lo que $y^2+x-3=0$ es una solución implícita de la ecuación diferencial.

La función $y^3 -3x+3+3y=5$ es una solución de la ecuación $y^{\prime \prime} = -2y \left( y^{\prime} \right)^3$.

Solución

Derivando implícitamente con respecto a $x$, para obtener la primera derivada

$$ 3y^2 y^{\prime} – 3 + 3 y^{\prime} = 0$$

despejando $y’$, se tiene

$$ y^{\prime} = \frac{1}{y^2 + 1} $$

derivando implícitamente nuevamente, para calcular la segunda derivada

$$ y^{\prime \prime} = – \frac{2y y^{\prime}}{\left( y^2 + 1\right)^2}$$

sustituyendo $y’$, obtenemos

$$y”=-{2y\over\left(y^2 + 1 \right)^3} = -2y \left(y^{\prime} \right)^3 $$