Se le llama ecuación de Bernoulli a la ecuación de la forma
$$ y’+p(x)y=q(x)y^n \ \ \ (*)$$
donde $n$ es un número distinto de $0$ y $1$.

Si dividimos $(*)$ por $y^n$ obtenemos
$$y^{-n}y’+p(x)y^{1-n}=q(x) \ \ \ (**)$$ si tomamos la sustición $u=y^{1-n}\Longrightarrow u’=(1-n)y^{-n}y’$ entonces sustituyendo en $(**)$ se obtiene
$$\frac{1}{1-n}u’+p(x)u=q(x)$$
que es una ecuación lineal y se resuelve por el método tratado anterior mente (ecuaciones lineales, edo).


Ejercicios Resueltos


  1. Obtenga la solución de la ecuación $ \ xy’+y+x^2y^2e^x=0$

    Solución

    Primero acomodemos la ecuación como sigue $$xy’+y=-x^2e^x \ y^2$$ llevemos la ahora a su forma canónica dividiendo por $x$ para obtener $$y’+{1\over x}y=-xe^xy^2$$
    puede observarse que la ecuación resultante es de Bernoulli, por lo que se procede, en este caso a dividir por $y^2$ ó multiplicar por $y^{-2} $ que es lo mismo, para obtener

    $$y^{-2}y’+\frac{1}{x}y^{-1}=-xe^x$$

    tomando la sustición $u=y^{-1}$ para convertirla en una ecuación lineal, se tiene que $u’=-y^{-2}y’$, sustituyendo
    $$-u’+{1\over x}u=-{x}e^x$$ multiplicando por $-1$ toda la ecuación se obtiene
    $$u’-{1\over x}u={x}e^x$$

    donde tenemos ahora una ecuación lineal canónica, con $p(x)=-{1\over x}$ por lo que
    $$\mu(x)=\exp\left( \int-\frac{1}{x}dx \right)=\frac{1}{x}$$

    multiplicando la ecuación por $\mu$ se obtiene
    $${1 \over x}u’-{1\over x^2}u=e^x$$

    por lo que $$d\left( {1\over x}u \right)=e^xdx$$ integrando $$\frac{1}{x}u=\int e^xdx=e^x+c$$

    de donde se tiene que $$u=x(e^x+c)$$ ahora sustituyendo $u=y^{-1}$ esto es
    $$y^{-1}=x(e^x+c)$$ por tanto la solución general esta dada por
    $$y=\frac{1}{x(e^x+c)}$$


  2. Obtenga la solución de la ecuación $ \ xy \ y’=y^2-x^2$

    Solución

    Lo primero es proceder a organizarla de modo que tenga la forma de una ecuación diferencial lineal, para esto restemos $y^2$ de ambos lados para obtener
    $$xy \ y’-y^2=-x^2$$
    ahora dividamos por $x$ para hacerla canónica, esto es
    $$y y’-{1\over x}y^2=-x$$
    esta tiene la forma de una ecuación de Bernoulli, tomemos la sustición $u=y^2\Longrightarrow u’=2yy’$, haciendo la sustición se tiene
    $${1\over2}u’-{1\over x}u=-x$$
    multiplicando por $2$ toda la ecuación
    $$u’-{2\over x}u=-2x$$

    de donde se tiene que $\displaystyle p(x)=-\frac{2}{x}$ por lo que
    $$\mu(x)=\exp\left( -\int{2\over x}dx \right)={1\over x^2}$$

    multiplicando por $\mu$ la ecuación, esto es
    $${1\over x^2}u’-{2\over x^3}u={-2\over x}$$

    entonces $$d\left( {1\over x^2}u \right)=-{2\over x}dx$$

    integrando $${1\over x^2}u=-\int{2\over x}dx=-2\ln|x|+c$$

    entonces $${1\over x^2}u=c-2\ln|x|\Longrightarrow u=x^2(c-2\ln|x|) $$

    sustituyendo $u=y^2$ se tiene que
    $$y^2=x^2(c-2\ln|x|)$$

    por lo que la solución esta dada por
    $$y=x(c-2\ln|x|)^{1/2}$$


  3. Obtenga la solución de la ecuación $\displaystyle 2y’+{1\over x+1}y+2(x^2-1)y^3=0 $

    Solución

    La ecuación se puede rescribir de la siguiente manera
    $$2y’+{1\over x+1}y+=-2(x^2-1)y^3$$
    es una ecuación de Bernoulli, multiplicando toda la ecuación por $y^{-3}$ se obtiene
    $$ 2y^{-3} \ y’+{1\over x+1}y^{-2}=-2(x^2-1) $$
    tomemos la sustición $ \ u=y^{-2}\Longrightarrow u’=-2y^{-3}y’$ entonces
    $$-u’+{1\over x+1}u=-2(x^2-1)$$
    multiplicando por $(-1)$ toda la ecuación, esto es
    $$u’-{1\over x+1}u=2(x^2-1)$$
    donde se tiene que es una ecuación diferencial lineal canónica con $ p(x)=-1/x+1$ entonces
    $$\mu(x)=\exp\left( \int {-1\over x+1}dx \right)={1\over x+1}$$
    multiplicando toda la ecuación canónica por $\mu$, esto es
    $${1\over x+1}u’-{1\over (x+1)^2}u={2(x^2-1)\over x+1}=2(x-1)$$
    entonces $$d\left( {1\over x+1}u \right)=2(x-1)dx$$
    integrando $${1\over x+1}u=2\int(x-1)dx=2{1\over 2}x^2-2x+c$$
    entonces $$u=(x+1)\left( x^2-2x+c \right)$$
    sustituyendo $u=y^{-2}$ se tiene
    $$y^{-2}=(x+1)\left( x^2-2x+c \right)$$
    por lo que la solución general esta dada por
    $$y=\pm[(x+1)\left( x^2-2x+c \right)]^{-1/2} $$


  4. Obtenga la solución de la ecuación $ \ xy’-(3x+6)y=-9xe^{-x}y^{4/3} $

    Solución

    Puede observarse que lo primero sería dividir por $x$ para hacer la ecuación canónica, esto es

    $$y’-{3x+6\over x}y=-9e^{-x}y^{4/3}$$

    esta es una ecuación de Bernoulli, multiplicando por $y^{-4/3}$ se obtine
    $$y^{-4/3}y’-{3x+6\over x}y^{1-4/3}=-9e^{-x}$$

    entonces $$y^{-4/3}y’-{3x+6\over x}y^{-1/3}=-9e^{-x}$$

    tomemos la sustición $$w=y^{-1/3}\Longrightarrow w’=-{1\over3}y^{-4/3}y’\Longrightarrow-3w’=y^{-4/3}$$

    sustituyendo se obtiene
    $$-3w’-{3x+6\over x}w=-9e^{-x}$$

    dividiendo la ecuación por $-3$ se obtiene
    $$w’+{x+2\over x}w=3e^{-x}$$

    que es una ecuación lineal canónica, con $ \ \displaystyle p(x)={x+2\over x} \ $ por lo que $\mu$ esta dado por
    $$\mu(x)=\exp\left( \int {x+2\over x}dx \right)=\exp\left( x+2\ln x \right)=x^2e^x$$
    $$\therefore \mu(x)=x^2e^x$$

    multiplicando la ecuación por $\mu$ esto es
    $$ x^2e^xw’+x^2e^x\left( x+2\over x \right)w=3x^2$$

    entonces $$ x^2e^xw’+xe^x\left( x+2 \right)w=3x^2$$

    por lo que se tiene que $$d\left( x^2e^xw \right)=3x^2dx$$

    integrando, esto es
    $$x^2e^xw=\int3x^2dx=x^3+c$$

    por lo que $$w=\frac{x^3+c}{x^2e^x}$$

    sustituyendo $w=y^{-1/3} $ se tiene que
    $$y^{-1/3}=\frac{x^3+x}{x^2e^x}\Longrightarrow y=\left( \frac{x^3+c}{x^2e^x} \right)^{-3}$$

    por lo que la solución general esta dada por

    $$y=\left( \frac{x^2e^x}{x^3+c} \right)^{3}$$

Ecuación de Bernoulli

2 pensamientos en “Ecuación de Bernoulli

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