La derivada de una función es uno de los conceptos básicos de las matemáticas. Junto con la integral, la derivada ocupa un lugar central en el cálculo. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. La operación inversa para la diferenciación se llama integración.

La derivada de una función en algún punto caracteriza la tasa de cambio de la función en este punto. Podemos estimar la tasa de cambio calculando la razón de cambio de la función $ \Delta y $ al cambio de la variable independiente $ \Delta x $. En la definición de derivada, esta relación se considera en el límite como $ \Delta x \rightarrow 0. $ Pasemos a una formulación más rigurosa.

Definición de derivada

Sea $ f (x) $ una función cuyo dominio contiene un intervalo abierto que contiene algún punto $ x_ {0}. $ Entonces se dice que la función $ f (x) $ es diferenciable en $ x_ {0}, $ y la derivada de $ f (x) $ en $ x_ {0} $ viene dada por
$$
f ^ {\prime} \left (x_ {0} \right) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {f \left (x_ {0} + \Delta x \right) -f \left (x_ {0} \right)} {\Delta x}
$$
La derivada tiene varias notaciones y entre ellas la de Lagrange es escribir la derivada de la función $ y = f (x) $ como $ f ^ {\prime} (x) $ o $ y ^ {\prime} (x) $ y l a notación de Leibniz es escribir la derivada de la función $ y = f (x) $ como $ \frac {d f} {d x} $ o $ \frac {d y} {d x} $.


Los pasos para encontrar la derivada de una función $ f (x) $ en el punto $ x_ {0} $ son los siguientes:

  • Forme el cociente de diferencia $ \frac {\Delta y} {\Delta x} = \frac {f \left (x_ {0} + \Delta x \right) -f \left (x_ {0} \right)} { \Delta x} $
  • Simplifique el cociente, cancelando $ \Delta x $ si es posible,
  • Encuentre la derivada $ f ^ {\prime} \left (x_ {0} \right), $ aplicando el límite al cociente. Si existe este límite, entonces decimos que la función $ f (x) $ es diferenciable en $ x_ {0} $

Ejercicios Resueltos


(1). Usando la definición de derivada, demuestre que la derivada de una constante es 0.

Solución

En este caso, la función $ y (x) $ siempre es igual a una constante $ C. $ Por lo tanto, podemos escribir

$$ y (x) = C, \quad y (x + \Delta x) = C$$

Está claro que el incremento de la función es idénticamente igual a cero: $$\Delta y = y (x + \Delta x) -y (x) = C-C= 0$$


Sustituyendo esto en la definición límite de derivada, obtenemos:

$$ y ^ { \prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {y ( x + \Delta x) -y (x)} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {0} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} 0 = 0$$




(2). Calcule la derivada de la función $ y = x $

Solución.

Siguiendo el procedimiento anterior, formamos la relación $ \frac {\Delta y} {\Delta x} $ y encontramos el límite como $ \Delta x \rightarrow 0 $

\begin{eqnarray*} y ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} &=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {(x + \Delta x) -x} {\Delta x} \\ &=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {x + \Delta x- x} {\Delta x} \\ \\ &=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta x} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} 1 = 1 \end{eqnarray*}



(3). Encuentre la derivada de una función lineal $ y = a x + b $ usando la definición de derivada.

Solución.

Escribimos el incremento de la función correspondiente a un pequeño cambio en el argumento $ \Delta x $

$$\Delta y = y (x + \Delta x) -y (x) = (a (x + \Delta x) + b) – (a x + b) $$
$$= a x + a \Delta x + b-a x-b = a \Delta x$$

Entonces la derivada viene dada por

$$y ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {a \Delta x} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} a = a$$

Como se puede ver, la derivada de una función lineal $ y = a x + b $ siempre es constante e igual a el coeficiente $ a $



(4). Determine la derivada de una función cuadrática de forma general $ y = a x ^ {2} + b x + c $

Solución

Encontramos la derivada de la función dada usando la definición de derivada. Escribe el incremento de la función $ \Delta y $ cuando el argumento cambia por $ \Delta x $
\begin{eqnarray*} \Delta y = y (x + \Delta x) -y (x) &=& \left [a (x + \Delta x) ^ {2} + b (x + \Delta x) + c \right] – \left [ax ^ {2} + b x + c \right] \\ \\&=& ax ^ {2} +2 ax \Delta x + a (\Delta x) ^ {2} + b x + b \Delta x + c- ax^ { 2} -b x- c\\ \\ &=& 2 a x \Delta x + a (\Delta x) ^ {2} + b \Delta x = (2 a x + b + a \Delta x) \Delta x \end{eqnarray*}
Ahora formamos la razón de los incrementos y calculamos el límite:

$$y ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta y} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {(2 a x + b + a \Delta x) \Delta x} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} (2 a x + b + a \Delta x) = 2 a x + b
$$

Por lo tanto, la derivada de una función cuadrática en forma general es una función lineal.




(5). Encuentre la derivada de la función $ y = \sqrt {x} $

Solución

Por la definición de derivada,

$$y ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {y (x + \Delta x) -y (x)} {\Delta x} = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\sqrt {x + \Delta x} – \sqrt {x}} {\Delta x}$$

Ahora multiplicamos el numerador y el denominador de este cociente por $ \sqrt {x + \Delta x} + \sqrt {x} $. Darse cuenta de

\begin{eqnarray*} (\sqrt {x + \Delta x} – \sqrt {x}) \cdot (\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt {x}) &=& (\sqrt {x + \Delta x}) ^ {2} – (\sqrt {x}) ^ {2} \\ \\ &=& x + \Delta x-x = \Delta x \end{eqnarray*}

Luego
\begin{eqnarray*} y ^ {\prime} (x) = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\sqrt {x + \Delta x} – \sqrt {x}} {\Delta x} &=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {\Delta x} {\Delta x (\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt {x})}\\ \\ &=& \lim _ {\Delta x \rightarrow 0} \frac {1} {\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt {x}} = \frac {1} {2 \sqrt {x}} \end{eqnarray*}


(6). Encuentre la derivada de la función de potencia $ y = x ^ {n} $

Solución

Siguiendo el esquema general, escribimos el incremento de la función:

$$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=(x+\Delta x)^{n}-x^{n}$$

En la última expresión, expandimos la suma a la potencia de $ n $ por la fórmula binomial, que tiene la siguiente forma:

\begin{eqnarray*}(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ k\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}&=&\left(\begin{array}{c}n \\ 0\end{array}\right) a^{n}+\left(\begin{array}{c}n \\ 1\end{array}\right) a^{n-1} b+\left(\begin{array}{c}n \\ 2\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}\\ \\ &&+\ldots +\left(\begin{array}{c}n \\ n-1\end{array}\right) a b^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n \\ n\end{array}\right) b^{n}\\ \\ &=&a^{n}+n a^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2 !} a^{n-2} b^{2}+\ldots+n a b^{n-1}+b^{n}\end{eqnarray*}

Entonces el incremento $ \Delta y $ viene dado por

$$\Delta y=(x+\Delta x)^{n}-x^{n}=n x^{n-1} \Delta x+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\ldots+n x(\Delta x)^{n-1}+(\Delta x)^{n}$$

Pasamos a la relación de los incrementos y el límite correspondiente:

\begin{eqnarray*}y^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}&=&\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\left[n x^{n-1}\right.
+\frac{n(n-1)}{2 !} x^{n-2}(\Delta x)\\ \\ &&\left.+\ldots+n x(\Delta x)^{n-2}+(\Delta x)^{n-1}\right]\end{eqnarray*}

Esto muestra que todos los términos, excepto el primero, desaparecen como $ \Delta x \rightarrow 0. $ Por lo tanto, la derivada de la función de potencia es
$$y ^ {\prime} (x) = n x ^ {n-1}$$

Algunos autores utilizan $h$ en vez de $\Delta x$ por lo que los siguientes ejercicios se tomara $h$ para expezar $\Delta x.$


(7). Utilizando la definición de derivada, calcular $f^{\prime}(x)$ para la función $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{3}$

Solución

\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{x+h+1}{3}-\frac{(x+1)}{3}}{h}\\ \\
&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x+h+1-x-1}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{h}{3}}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h}{3 h}=\frac{1}{3}
\end{aligned}
\]
por lo que $f'(x)=1/3$


(8). Halla la derivada de la siguiente función en $x=1,$ aplicando la definición de derivada de
\[
f(x)=x^{2}+1
\]

Solución

\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(1) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{(1+h)^{2}+1-2}{h}\\ \\
&=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1+h^{2}+2 h+1-2}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h^{2}+2 h}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h(h+2)}{h}\\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0}(h+2)=2
\end{aligned}
\]

luego $f'(1)=2$


(9). Observemos si es cierto que $f^{\prime}(a)=\lim_{t \rightarrow a} \frac{f(a+t)-f(a-t)}{2 t} $

Solución

Tenemos que
\[
\begin{aligned}
\frac{f(a+t)-f(a-t)}{2 t} &=\frac{f(a+t)-f(a)}{2 t}+\frac{f(a)-f(a-t)}{2 t} \\
&=\frac{1}{2} \frac{f(a+t)-f(a)}{t}+\frac{1}{2} \frac{f(a-t)-f(a)}{-t}
\end{aligned}
\]
Luego podemos observar que
\[
\lim_{t \rightarrow a} \frac{f(a+t)-f(a)}{t}=\lim_{t \rightarrow a} \frac{f(a-t)-f(a)}{-t}=f^{\prime}(a)
\]


(10). Utilizando la definición de derivada, calcula $f^{\prime}(-1),$ siendo $f(x)=\frac{3 x+1}{2}$

Solución

\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(-1)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}\\ \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{3(-1+h)+1}{2}-\frac{-2}{2}}{h}\\ \\
=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\displaystyle\frac{-3+3 h+1}{2}+\frac{2}{2}}{h}\\ \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{-3+3 h+1+2}{2}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3 h}{2} \\ \\ =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{3 h}{2 h}=\frac{3}{2}
\end{aligned}
\]


(11). $g(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-1$

Solución

Procediendo de igual modo:

$$g^{\prime}(x)=\lim {h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$ $$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-2(x+h)^{2}+x+h-1-\left(x^{3}-2 x^{2}+x-1\right)}{h}$$

$$\begin{aligned} g^{\prime}(x) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{3}+3 x^{2} h+3 x h^{2}+h^{3}-2\left(x^{2}+2 x h+h^{2}\right)+x+h-1-\left(x^{3}-2 x^{2}+x-1\right)}{h} \\ \\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^{3}+3 x^{2} h+3 x h^{2}+h^{3}-2 x^{2}-4 x h-2 h^{2}+x+h-1-x^{3}+2 x^{2}-x+1}{h} \\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(3 x^{2}+3 x h+h^{2}-4 x-2 h+1\right)}{h} \\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0}\left(3 x^{2}+3 x h+h^{2}-4 x-2 h+1\right)=3 x^{2}-4 x+1 \end{aligned}$$

por tanto $$g^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 x+1$$


(12). $g(t)=\displaystyle\frac{t}{t+1}$

Solución

$$\begin{aligned} g^{\prime}(t) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(t+h)-g(t)}{h} \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{t+h}{t+h+1}-\frac{t}{t+1}\right) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} g^{\prime}(t) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{(t+h)(t+1)-t(t+h+1)}{h}\right) \\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{t^{2}+t+t h+h-\left(t^{2}+t h+t\right)}{(t+h+1)(t+1)}\right) \\ \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{h}{(t+h+1)(t+1)}\right) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} g^{\prime}(t)=& \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{(t+h+1)(t+1)} \\ \\ =& \frac{1}{(t+1)(t+1)} \\ =& \frac{1}{(t+1)^{2}} \\ \\ & g^{\prime}(t)=\frac{1}{(t+1)^{2}} \end{aligned}$$


(13). $f(t)=\displaystyle\frac{t+1}{t+4}$

Solución

$$f^{\prime}(t)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{t+h+1}{t+h+4}-\frac{t+1}{t+4}\right)$$

$$f^{\prime}(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{(t+h+1)(t+4)-(t+1)(t+h+4)}{(t+h+4)(t+4)}\right)$$

$$\begin{aligned} f^{\prime}(t) &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{t^{2}+t h+5 t+4 h+4-\left(t^{2}+t h+5 t+h+4\right)}{(t+h+4)(t+4)}\right) \\ \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{t^{2}+t h+5 t+4 h+4-t^{2}-t h-5 t-h-4}{(t+h+4)(t+4)}\right) \\ \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left(\frac{3 h}{(t+h+4)(t+4)}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3}{(t+h+4)(t+4)}=\frac{3}{(t+4)^{2}} \end{aligned}$$

$$f^{\prime}(t)=\frac{3}{(t+4)^{2}}$$


(14). $f(x)=\sqrt{1-9 x}$

$$f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-9(x+h)}-\sqrt{1-9 x}}{h}$$

$$f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1-9(x+h)}-\sqrt{1-9 x})}{h} \frac{(\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x})}{(\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x})}$$

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-9(x+h)-(1-9 x)}{h(\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x})}\\ \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1-9 x-9 h-1+9 x}{h(\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x})} \\ \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-9 h}{h(\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x})}\\ \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-9}{\sqrt{1-9(x+h)}+\sqrt{1-9 x}}=\frac{-9}{2 \sqrt{1-9 x}} \end{aligned}$$

$$f^{\prime}(x)=\frac{-9}{2 \sqrt{1-9 x}}$$

Definición de Derivada
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