Para ver el conjunto de los número reales, debemos empezar por los conjuntos que componen dicho conjunto. Teniendo esto en cuenta empecemos por conocer el conjunto de los números naturales, este conjunto se simboliza por $\mathbb{N}$ y este formado por los elementos:

$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\cdots\}$$

Este conjunto numérico consta con varias operaciones internas que veremos mas adelante cuando culminemos con los número enteros.

Recordemos que una operación interna no es mas, en palabras llanas, que al tomar dos elementos cualesquiera de un conjunto numérico, y al operarlo con esta operación el resultado este en dicho conjunto.

Los números enteros constan con los naturales además de sus negativos y el cero, este se simboliza por la letra $\mathbb{Z}$, esto es:

$$\mathbb{Z}=\{\cdots,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\cdots\}$$

Este conjunto consta con una operación interna adicional al conjunto de los naturales el cual solo contaba con dos, que eran la suma y la resta. En este se agrega o toma sentido la diferencia (resta).

Propiedades de los números enteros


  1. Propiedad Asociativa
    $$ (a+b)+c=a+(b+c)\atop (a\ldotp b)\cdotp c=a\cdotp(b\cdotp c)$$
  2. Propiedad Conmutativa
    $$ a+b =b+a$$ $$a\cdot b=b\cdot c $$
  3. Propiedad de elemento neutro
    $$ a+0=0+a=a \ \ \ \mbox{para la suma}$$ $$ a\cdotp1=1\cdotp a=a \ \ \ \mbox{para el producto} $$
  4. Existe un elemento opuesto para suma

    Existe un único elemento $-a\in\mathbb{Z}$ tal que $$a+(-a)=(-a)+a=0$$

  5. El producto es distributivo respecto a la suma
    $$a\cdotp(b+c)=a\cdotp b+a\cdotp c$$

El conjunto de los números naturales cumple estas propiedades, excepto [4].

Si comenzamos a tomar cocientes de números enteros (razones) se construye el conjunto de los número racionales $\mathbb{Q}$. Esto es que, cualquier número racional $r$ se puede expresar como el cociente de dos números enteros, esto es

$$\mathbb{Q}=\left\{{p\over q} \ | \ \ p,q\in\mathbb{Z}, \ \ q\neq 0 \right\}$$

el elemento $p$ se llama numerados y $q$ denominador el cual siempre tiene que ser distinto de cero. Esto se debe a que la división por cero no esta definida.

En este conjunto se define la división siempre que el denominador sea distinto de cero. Este conjunto contiene todos los número enteros $$\mathbb{N\subset Z\subset Q}$$

Existen número que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros, tales como

$$\sqrt{2}, \ \ \sqrt{3}, \ \ \sqrt[3]{2}, \ \ \pi, \ \ {3\over \pi^2} $$
estos números forman el conjunto de los números irracionales $\mathbb{Q’}$.

El conjunto de los números reales se denota por $\mathbb{R}$, este contiene los demás conjunto, esto es

$$\mathbb{R=Q\cup Q’}$$

De aqui que todo número real tiene una representación decimal, si el número es racional tiene una representación decimal periódica, esto es

$${2\over3}=0.66666\cdots=0.\overline{6}$$

$${8\over 33}=0.242424\cdots=0.\overline{24}$$

$${9\over 7}=0.285714285714\cdots=0.\overline{285714}$$
Si el número por otro lado es irracional tiene una representación decimal no periódica, esto es

$$\sqrt{2}=1.414213532373095\cdots$$

$$\pi=3.141592653589793\cdots$$

Los números decimales se pueden clasificar según sus sifras decimales. Estos son los números decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos. Puesto que estos se pueden obtener de un cociente, se puede tener la sensación que de un decimal de estos se puede llegar a una fracción, pero dejaremos esta para otra entrada.

El conjunto de los números reales se puede representar en una gráfica (denomina recta real), donde a cada punto de la recta le corresponde un número, esto es

Representación gráfica de los reales sobre un recta.

Los conjuntos pueden escribirse en listado entre {}. Un ejemplo de esto serían el conjunto de todos los números pares y el conjunto de todos los impares naturales

$$A=\{2,4,6,8,\cdots,2n\}$$ $$B=\{1,3,5,7,\cdots,2n-1\}$$ otro ejemplo seria el conjunto de todos los números naturales menores que 8 $$C=\{1,2,3,4,5,6,7\}$$

Otra forma de escribir un conjunto de describir entre llaves la regla que genere todos los elementos del conjunto, esto es $$C=\{x \ | \ x \ \ \mbox{es un entero positivo y } \ \ 0<x<8\}$$ el cual genera el conjunto de enteros positivos menores que 8.

1. Intervalos

Un subconjunto de la recta real se denomina intervalo, estos contienen al menos dos números y todos los reales comprendidos entre ellos. Un ejemplo de esto es el conjunto $C$ que vimos anteriormente, que estaba formado por todos los reales enteros tales que $$0<x<8$$ el cual es un intervalo.

Los intervalos tienen representación geométrica, estas representaciones son rayos y segmentos de la recta real, sobre la recta real. Los intervalos cuyas representaciones son rayos; son intervalos infinitos, y los que tienen un segmento; son intervalos finitos.

De aquí que diremos que un intervalo finito es cerrado si contiene sus extremos, semiabierto si contiene un punto extremo pero no ambos y abierto si no contiene ninguno de sus puntos extremos. Dichos puntos extremos también se denominan puntos fronterizos, por los cual esta formada la frontera del intervalo.

A los demás los puntos del intervalo que no están en la frontera se les llaman puntos interiores y juntos forman el interior del intervalo. Un intervalo infinito es cerrado si contiene uno de sus extremos de lo contrario es abierto.

La recta real es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.

1.1. Tipos de intervalos

Tipos de intervalos

En una proxima entrada se trataran más propiedades de los números reales, resolución de desigualdades y valor absoluto valor absoluto.


Conjuntos numéricos y algunas propiedades
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