En entradas anteriores vimos que límite de $f(x)$ cuando $x\to c$ no depende del valor de $f$ en $x=c$. Sin embargo, puede darse el caso de que el límite sea $f(c)$. En esta situación se puede evaluar el límite directamente por sustitución directa, es decir
$$\lim_{x\to c}f(x)=f(c) \hspace{3cm} \text{sustituyendo $x$ por $c$} $$

Las funciones que cumplen esto se les llama funciones continuas o que son continuas.

Ejemplos basícos de esto son:

$$\lim_{x\to2}5=5; \ \ \ \ \ \ \ \ \lim\limits_{x\to -2}(x-2)=-4; \ \ \ \ \ \ \lim\limits_{x\to 2}(x^2+1)=5$$

Se puede observar que el limite de una función polinomica $p(x)$ es simplemente el valor de $p$ en $x=c.$ Esta propiedad de sustitución es valida para todas las funciones polinomicas y funciones racionales para las cuales el denominador es distinto de cero para un valor $c$ dado. En otras palabras tenemos lo siguiente $$\lim\limits_{x\to c}(x^3+4x^2-3)=\lim\limits_{x\to c}x^3+\lim\limits_{x\to c}4x^2-\lim\limits_{x\to c}3=c^3+4c^2-3$$

Ejercicios Resueltos


  1. Evaluar $\lim\limits_{x\to c}(x^3+4x^2-3)=\lim\limits_{x\to c}x^3+\lim\limits_{x\to c}4x^2-\lim\limits_{x\to c}3=c^3+4c^2-3$


  2. $ \lim _{x \rightarrow-2} \sqrt{x^{4}-2 x+1} $

    \begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow-2} \sqrt{x^{4}-2 x+1} &=&\sqrt{\lim _{x \rightarrow-2}\left(x^{4}-2 x+1\right)}\\ \\ &=&\sqrt{\lim _{x \rightarrow-2} x^{4}-\lim _{x \rightarrow-2} 2 x+\lim _{x \rightarrow-2} 1} \\ \\ &=&\sqrt{\left(\lim _{x \rightarrow-2} x\right)^{4}-2\left(\lim _{x \rightarrow-2} x\right)+1}=\sqrt{(-2)^{4}-2(-2)+1} \\ \\ &=&\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21} \end{eqnarray*}


  3. $\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^{2}-3 x+1}{-x^{2}+8 x-3}$

    \begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} \frac{x^{2}-3 x+1}{-x^{2}+8 x-3}&=&\frac{\lim _{x \rightarrow {1\over2}}\left(x^{2}-3 x+1\right)}{\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}\left(-x^{2}+8 x-3\right)}\\ \\ &=&\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{1}{2}\right)+1}{-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+8\left(\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+1}{-\frac{1}{4}+\frac{8}{2}-3}\\ \\ &=&\frac{\frac{1-6+4}{4}}{\frac{-1+16-12}{4}}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}


  4. $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$

    Se puede observar que tenemos algo no permitido en el denominador y es que si $x\to 2$ entonces $x-2\to 0$ que no es admitido (la división por cero). Por lo que tenemos que racionalizar, esto es, mutlpilicar por $(\sqrt{x}+\sqrt{2})/(\sqrt{x}+\sqrt{2})$ \begin{eqnarray*} \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} &=&\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\right] \\ \\ &=&\lim _{x \rightarrow 2} \frac{(\sqrt{x})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\ \\ &=&\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\\ \\ &=&\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \end{eqnarray*}


  5. Para calcular \[ \lim _{x=\rightarrow 0} \frac{e^{a x}-e^{b x}}{x} \] sumamos y restamos 1 \[ \begin{aligned} \lim _{x=\rightarrow 0} \frac{e^{a x}-e^{b x}+1-1}{x} &=\lim _{x=\rightarrow 0} \frac{\left(e^{a x}-1\right)-\left(e^{b x}-1\right)}{x} \\ \lim _{x=\rightarrow 0} \frac{e^{a x}-1}{x}-\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{b x}-1}{x} &=a \lim _{x=\rightarrow 0} \frac{e^{a x}-1}{a x}-b \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{b x}-1}{b x} \end{aligned} \] aplicando el hecho de que \[ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1 \] se concluye que \[ a \lim _{x=\rightarrow 0} \frac{e^{a x}-1}{a x}-b \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{b x}-1}{b x}=a-b \]


  6. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}-1} \quad$

    Observe la indeterminación de la forma 0/0. Para evitarla tenemos que factorizar el numerador y el denominador, simplificamos y por último sustituimos $x$ por -1, es decir $$\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)}{(x+1)(x-1)}=\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-x+1}{x-1}=-\frac{3}{2}$$


  7. $\displaystyle\lim {x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x^{2}-25}$

    Observe la indeterminación de la forma 0/0. Para evitarla tenemos que factorizar el numerador y el denominador, simplificamos y por último sustituimos $x$ por 5 : $$ \lim {x \rightarrow 5} \frac{x-5}{x^{2}-25}=\lim {x \rightarrow 5} \frac{x-5}{(x+5)(x-5)}=\lim {x \rightarrow 5} \frac{1}{x+5}=\frac{1}{10}
    $$


  8. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$

    Observe la indeterminación de la forma 0/0. Para evitarla racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos $x$ por 3 : $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} &=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x+1-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}\\ &=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{1}{(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{4} \end{aligned}$$


  9. $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$

    Observe la indeterminación de la forma 0/0. Para evitarla racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos $x$ por 0 : $$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x} &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\\ &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+2-2}{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}\\&=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$


  10. $\displaystyle\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$

    Observe la indeterminación de la forma 0/0. Para evitarla realizamos las operaciones que se nos indica en el numerador, Simplificamos y por último sustituimos $h$ por 0 : $$ \begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^{3}+3 x^{2} h+3 x h^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}\\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{3 x^{2} h+3 x h^{2}+h^{3}}{h}\\&=\lim _{h \rightarrow 0}\left(3 x^{2}+3 x h+h^{2}\right)=3 x^{2} \end{aligned} $$

Cálculo de límites I

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