Veremos primero la propiedad de linealidad de la transformada, esto es

Sean $f_1$ y $f_2$ funciones cuyas transformadas de Laplace existen para $s>\alpha$ y sea $c$ una constante, entonces, para $s>\alpha,$

$$\la\{c_1f_1+c_2f_2\}=c_1\la\{f_1\}+c_2\la\{f_2\}$$

para probar esto sólo hay que partir de la definición

\begin{eqnarray*} \la\{c_1f_1+c_2f_2\}&=& \int_0^{\infty}\left\{c_1f_1+c_2f_2\right\}e^{-st}dt\\ &=&\al (c_1f_1)dt+\al(c_2f_2)dt\\ &=&c_1\al f_1dt+c_2\al f_2dt=c_1\la{f_1}+c_2\la{f_2} \end{eqnarray*}

esto prueba la linealidad de la transformada de Laplace.


Determinar $\la\{5-4e^{3t}-6\sin 3t\}$

Solución

Procederemos aplicando la propiedad de linealidad

\begin{eqnarray*} \la\{5-4e^{3t}-6\sin 3t\}&=&\la{5}+\la\{-4e^{3t}\}+\la\{-6\sin 3t\}\\ &=&5\la\{1\}-4\la\{e^{3t}\}-6\la\{\sin 3t\} \end{eqnarray*}

de donde tenemos que

$$\la\{1\}={1\over s}; \ \ \ \ \la\{e^{3t}\}={1\over s-3}; \ \ \ \ \ \la\{\sin 3t\}={3\over s^2+3^2}$$

entonces
$$\la\{5-4e^{3t}-6\sin 3t\}=5\left({1\over s} \right)-4\left( {1\over s-3} \right)-6\left( 3\over s^2+9 \right) \ \ \ \ s>4$$


Propiedades de Traslación

Primera propiedad de traslación: esta nos dice que si para $s>\alpha; \ \ \ \ \la\{f(t)\}=f(s)$ entonces

$$\la\{e^{at}f(t)\}=f(s-a)$$

esto se puede verificar de la siguiente manera, aplicando la definición, esto es

$$ \la\{e^{at}f(t)\}=\al e^{at}f(t)dt =\int_0^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)dt=f(s-a)$$
para $s>\alpha +a.$

Segunda propiedad de traslación: si $\la\{f(t)\}=f(s) $ y
$$g(t)=\left\{f(t-a), \ \ \ t>a \atop 0, \ \ \ \ t<0 \right.$$
entonces $$\la\{g(t)\}=e^{-as}f(s)$$
para vericar esto apliquemos la definición:

\begin{eqnarray*} \la\{g(t)\}&=&\al g(t)dt=\int_a^{\infty}e^{-st}f(t-a)dt\\ && \mbox{haciendo un cambio de variables}\\ \\ && x=t-a\Rightarrow dt=dx \\ \\ \mbox{y}\ &&\left\{t\rightarrow a, x\rightarrow0\atop t\rightarrow\infty, x\rightarrow\infty \right.\\ \\ \la{g(t)}&=&\int_0^{\infty}e^{-sx}e^{-as}f(x)dx=e^{-as}\int_0^{\infty}e^{-sx}f(x)dx=e^{-as}f(s) \end{eqnarray*}
por lo que
$$\la\{g(t)\}=e^{-as}f(s)$$

Propiedad de cambio de escala

si $\la\{f(t)\}=f(s)$ entonces
$$\la\{f(at)\}={1\over a}f\left( s\over a \right)$$

al igual que las anteriores, para probar esto solo hay que aplicar la definición

$$\la\{f(at)\}=\al f(at)dt$$
tomando cambio de variable $$ x=at\Rightarrow t={x\over a}\Rightarrow dt={dx\over a}$$
$$\left\lbrace t\to 0\Rightarrow x\to 0\atop t\to \infty\Rightarrow x\to\infty\right\rbrace $$
por lo que
$$\la\{f(at)\}=\al f(at)dt=\int_{0}^{\infty}e^{-s{x\over a}}f(x){dx\over a}$$ $$={1\over a}\int_{0}^{\infty}e^{-{s\over a}x}f(x)dx={1\over a}f\left( s\over a\right) $$

$$\la\{f(at)\}={1\over a}f\left( s\over a\right) $$

Transformada de Laplace de las derivadas

Si $f(t)$ es continua en $[0,\infty)$ y $f'(t)$ es continua por partes en $[0,\infty)$ ambas de orden exponencial $\alpha.$ Entonces, para $s>\alpha,$

$$\la{f’}(s)=s\la{f}(s)-f(0)$$

verificando esto según la definición tenemos

$$\la{f’}(s)=\al f'(t)dt=\lim\limits_{p\to\infty}\int_{0}^{p}e^{-st}f'(t)dt$$

aplicando el metodo de integración por partes a $\int e^{-st}f'(t)dt$ tomando $u=e^{-st}$ y $dv=f'(t)dt$ se obtiene

$$\int e^{-st}f'(t)dt=e^{-st}f(t)+s\int e^{-st}f(t)dt$$

por lo que

\begin{eqnarray*} \la{f’}(s)&=&\al f'(t)dt=\lim\limits_{p\to\infty}\int_{0}^{p}e^{-st}f'(t)dt\\ \\ &=& \lim\limits_{p\to \infty} \left( \left. e^{-st}f(t)\right|0^p +s\int{0}^{p} e^{-st}f(t)dt\right) \\ \\
&=&\lim_{p\to\infty}\left( e^{-pt}f(p)-f(0)+s\int_{0}^{p} e^{-st}f(t)dt\right) \\ \\
&=&\lim_{p\to\infty}e^{-pt}f(p)-f(0)+s\lim_{p\to\infty}\int_{0}^{p} e^{-st}f(t)dt\\ \\ &=&\lim_{p\to\infty}e^{-pt}f(p)-f(0)+s\la{f}(s)
\end{eqnarray*}

de aquí que
$$\la{f’}(s)=s\la{f}(s)-f(0)$$

se dejara pora la sección de límite la prueba de que límite de la forma $\lim_{p\to\infty}e^{-pt}f(p)$ es cero.

Esto se puede extender a derivadas de orden superior, por ejemplo

$$\la\{f”\}(s)=s\la\{f’\}(s)-f'(0)=s[s\la\{f\}(s)-f(0)]-f'(0)$$
por lo que
$$\la\{f”\}(s)=s^2\la\{f\}(s)-sf(0)-f'(0)$$

En general se tiene que
$$\la\{f^{(n)}\}(s)=s^n\la\{f\}(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-s^{n-3}f”(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)$$

lo cual se prueba por inducción.


Si tenemos la transformada $f(s)=\la\{f\}$ de una función $f$ es ¿$f'(s)$ la transformada de una función que depende de $t$? lo cual es valido y es lo siguiente

$$f'(s)=\la\{-tf(t)\}(s)$$

Esto nos lleva al siguiente resultado el cual se prueba por inducción matemática.

Sea $f(s)=\la\{f\}(s)$ y supongamos que $f$ es continua por partes en $[0,\infty)$ y de orden exponencial $\alpha$. Entonces para $s>\alpha$,

$$\la\{t^nf(t)\}(s)=(-1)^n{d^nf(s)\over ds^n}$$

Algunas propiedades de la transformada de Laplace
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